Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Đường thẳng $SA$
vuông góc với đáy $\left( ABCD \right)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên đường thẳng $SB$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $HBDC$ bằng.
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{a}{2}$.
C. $a\sqrt{2}$.
D. $a$.
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $OA=OB=OC=OD=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} \left( * \right)$.
$\left. \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
& AB\cap SA=A \\
& AB,SA\subset \left( SAB \right) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AH$.
$\left. \begin{aligned}
& AH\bot SB \\
& AH\bot BC \\
& SB\cap BC=B \\
& SB,BC\subset \left( SBC \right) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH\bot CH$.
$\Rightarrow \Delta AHC$ vuông tại $H$
Mặt khác $O$ là trung điểm của $AC$ nên $OH=OA=OC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} \left( ** \right)$.
Từ $\left( * \right), \left( ** \right)$ suy ra $OH=OB=OC=OD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
$\Rightarrow $ Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $HBCD$ là $O$ và có bán kính $R=OH=OB=OC=OD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
vuông góc với đáy $\left( ABCD \right)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên đường thẳng $SB$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $HBDC$ bằng.
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{a}{2}$.
C. $a\sqrt{2}$.
D. $a$.
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $OA=OB=OC=OD=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} \left( * \right)$.
$\left. \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
& AB\cap SA=A \\
& AB,SA\subset \left( SAB \right) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AH$.
$\left. \begin{aligned}
& AH\bot SB \\
& AH\bot BC \\
& SB\cap BC=B \\
& SB,BC\subset \left( SBC \right) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH\bot CH$.
$\Rightarrow \Delta AHC$ vuông tại $H$
Mặt khác $O$ là trung điểm của $AC$ nên $OH=OA=OC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} \left( ** \right)$.
Từ $\left( * \right), \left( ** \right)$ suy ra $OH=OB=OC=OD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
$\Rightarrow $ Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $HBCD$ là $O$ và có bán kính $R=OH=OB=OC=OD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Đáp án A.