Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,$ cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, biết $SB=a\sqrt{3}$. Khi đó mặt cầu tâm $A$ tiếp xúc với mặt phẳng $\left( SBD \right)$ có bán kính $R$ là
A. $R=a$.
B. $R=a\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
C. $R=a\sqrt{\dfrac{2}{5}}$.
D. $R=a\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.
Trong tam giác $SAO$, kẻ $AH\bot SO$ tại $H$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AO \\
& BD\bot SA \\
& SA;AO\subset \left( SAC \right) \\
& SA\cap AO=A \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot AH$
Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SO \\
& AH\bot BD \\
& SO;BD\subset \left( \text{SBD} \right) \\
& SO\cap BD=O \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right)$
Khi đó $R=d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH$.
$\Delta SAB$ vuông tại $A\Rightarrow SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
$ABCD$ là hình vuông cạnh $a\Rightarrow AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Lại có $AH$ là đường cao trong tam giác $SAO$ vuông tại $A$ nên $AH=\dfrac{AS.AO}{\sqrt{A{{S}^{2}}+A{{O}^{2}}}}=a\sqrt{\dfrac{2}{5}}.$
A. $R=a$.
B. $R=a\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
C. $R=a\sqrt{\dfrac{2}{5}}$.
D. $R=a\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.
Trong tam giác $SAO$, kẻ $AH\bot SO$ tại $H$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AO \\
& BD\bot SA \\
& SA;AO\subset \left( SAC \right) \\
& SA\cap AO=A \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot AH$
Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SO \\
& AH\bot BD \\
& SO;BD\subset \left( \text{SBD} \right) \\
& SO\cap BD=O \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right)$
Khi đó $R=d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH$.
$\Delta SAB$ vuông tại $A\Rightarrow SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
$ABCD$ là hình vuông cạnh $a\Rightarrow AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Lại có $AH$ là đường cao trong tam giác $SAO$ vuông tại $A$ nên $AH=\dfrac{AS.AO}{\sqrt{A{{S}^{2}}+A{{O}^{2}}}}=a\sqrt{\dfrac{2}{5}}.$
Đáp án C.