Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $SC=a\sqrt{3}$. Gọi $M, N,P, Q$ lần lượt là trung điểm của $SB, SD,CD, BC$. Thể tích của khối chóp $A.MNPQ$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$.
Gọi $O=AC\cap BD; G=AC\cap PQ$
Ta có $\left. \begin{aligned}
& MQ\text{//}SC \\
& NP\text{//}SC \\
& MQ=NP=\dfrac{1}{2}SC \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow MQ=NP;MQ\text{//}NP$
$\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành $\Rightarrow {{S}_{MNPQ}}=2{{S}_{\Delta NPQ}}$
Ta có $S{{A}^{2}}=S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}=3{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}={{a}^{2}}\Rightarrow SA=a$
Mà $PQ=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}; AG=\dfrac{3}{4}AC=\dfrac{3}{4}.a\sqrt{2}=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta APQ}}=\dfrac{1}{2}AG.PQ=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{8}$
Khi đó ${{V}_{A.MNPQ}}=2.{{V}_{ANPQ}}=2.{{V}_{N.APQ}}=2.\dfrac{1}{2}{{V}_{S.APQ}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta APQ}}=\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{3{{a}^{2}}}{8}=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$.
Ta có $\left. \begin{aligned}
& MQ\text{//}SC \\
& NP\text{//}SC \\
& MQ=NP=\dfrac{1}{2}SC \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow MQ=NP;MQ\text{//}NP$
$\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành $\Rightarrow {{S}_{MNPQ}}=2{{S}_{\Delta NPQ}}$
Ta có $S{{A}^{2}}=S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}=3{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}={{a}^{2}}\Rightarrow SA=a$
Mà $PQ=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}; AG=\dfrac{3}{4}AC=\dfrac{3}{4}.a\sqrt{2}=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta APQ}}=\dfrac{1}{2}AG.PQ=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{8}$
Khi đó ${{V}_{A.MNPQ}}=2.{{V}_{ANPQ}}=2.{{V}_{N.APQ}}=2.\dfrac{1}{2}{{V}_{S.APQ}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta APQ}}=\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{3{{a}^{2}}}{8}=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
Đáp án C.