Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Cạnh $SA=2a$ và vuông góc với mặt phằng đáy. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a.$
B. $\dfrac{2}{3}a.$
C. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}a.$
D. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}a.$
Trong mặt phẳng $\left( SAO \right)$ kẻ $AM\bot SO$ tại $M$ $\left( 1 \right)$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& SA\bot BD \\
& AO\bot BD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAO \right) $ mà $ AM\subset \left( SAO \right) $ nên $ AM\bot BD $ $ \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $AM\bot \left( SBD \right)$.
$\Rightarrow d\left( A;\left( SBD \right) \right)=AM$
Ta có $\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{9}{4{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AM=\dfrac{2}{3}a$.
Vậy $d\left( A;\left( SBD \right) \right)=\dfrac{2}{3}a$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a.$
B. $\dfrac{2}{3}a.$
C. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}a.$
D. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}a.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& SA\bot BD \\
& AO\bot BD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAO \right) $ mà $ AM\subset \left( SAO \right) $ nên $ AM\bot BD $ $ \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $AM\bot \left( SBD \right)$.
$\Rightarrow d\left( A;\left( SBD \right) \right)=AM$
Ta có $\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{9}{4{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AM=\dfrac{2}{3}a$.
Vậy $d\left( A;\left( SBD \right) \right)=\dfrac{2}{3}a$.
Đáp án B.