Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,$ cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{2}.$ Gọi $H,K,L$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB,SC,SD.$ Xét khối nón $\left( N \right)$ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác $HKL$ và có đỉnh thuộc mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Tính thể tích của khối nón $\left( N \right).$
A. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{48}$
B. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{12}$
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{8}$
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{6}$
A. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{48}$
B. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{12}$
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{8}$
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{6}$
Phương pháp:
- Chứng minh tứ giác $AHKL$ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm $O$ là trung điểm của $AK.\Rightarrow $ Đáy của hình nón $\left( N \right)$ cũng chính là đường tròn tâm $O,$ bán kính $R=\dfrac{1}{2}AK.$
- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân tính $AK.$
- Trong $\left( SAC \right)$ kẻ đường thẳng song song với $SC$ cắt $AC$ tại $I,$ chứng minh $I$ là đỉnh hình nón $\left( N \right).$ Sử dụng tính chất đường trung bình tính đường cao hình nón $\left( N \right)$ là $h=IO.$
- Thể tích khối nón có chiều cao $h,$ bán kính đáy $R$ là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h.$
Cách giải:
Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AH$
$\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SB \\
& AH\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH\bot HK$
Chứng minh tương tự ta có $BL\bot LK.$
$\Rightarrow AHKI$ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm $O$ là trung điểm của $AK.$
$\Rightarrow $ Đáy của hình nón $\left( N \right)$ cũng chính là đường tròn tâm $O,$ bán kính $R=\dfrac{1}{2}AK.$
Ta có: $SA=a\sqrt{2};AC=a\sqrt{2}$ (do $ABCD$ là hình vuông cạnh $a)\Rightarrow \Delta SAC$ vuông cân tại $A.$
$\Rightarrow SC=a\sqrt{2}.\sqrt{2}=2a$ và $AK=\dfrac{1}{2}SC=a$ (đường cao đồng thời là trung tuyến).
$\Rightarrow $ Bán kính đáy hình nón $\left( N \right)$ là $R=\dfrac{1}{2}AK=\dfrac{1}{2}a.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot \left( SBC \right) \\
& AK\bot SC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot SC\Rightarrow SC\bot \left( AHKL \right).$
Trong $\left( SAC \right)$ kẻ đường thẳng song song với $SC$ cắt $AC$ tại $I,$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& I\in \left( ABD \right) \\
& OI//SC\Rightarrow OI\bot \left( AHKL \right) \\
\end{aligned} \right..$
$\Rightarrow I$ là đỉnh của hình nón $\left( N \right)$ và $IO$ là đường cao của hình nón $\left( N \right).$
Dễ thấy $OI$ là đường trung bình của tam giác $AKC$ nên $OI=\dfrac{1}{2}KC=\dfrac{1}{4}SC=\dfrac{a}{2}=h.$
Vậy thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi .{{R}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}.\dfrac{a}{4}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{48}.$
- Chứng minh tứ giác $AHKL$ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm $O$ là trung điểm của $AK.\Rightarrow $ Đáy của hình nón $\left( N \right)$ cũng chính là đường tròn tâm $O,$ bán kính $R=\dfrac{1}{2}AK.$
- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân tính $AK.$
- Trong $\left( SAC \right)$ kẻ đường thẳng song song với $SC$ cắt $AC$ tại $I,$ chứng minh $I$ là đỉnh hình nón $\left( N \right).$ Sử dụng tính chất đường trung bình tính đường cao hình nón $\left( N \right)$ là $h=IO.$
- Thể tích khối nón có chiều cao $h,$ bán kính đáy $R$ là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h.$
Cách giải:
Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AH$
$\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SB \\
& AH\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH\bot HK$
Chứng minh tương tự ta có $BL\bot LK.$
$\Rightarrow AHKI$ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm $O$ là trung điểm của $AK.$
$\Rightarrow $ Đáy của hình nón $\left( N \right)$ cũng chính là đường tròn tâm $O,$ bán kính $R=\dfrac{1}{2}AK.$
Ta có: $SA=a\sqrt{2};AC=a\sqrt{2}$ (do $ABCD$ là hình vuông cạnh $a)\Rightarrow \Delta SAC$ vuông cân tại $A.$
$\Rightarrow SC=a\sqrt{2}.\sqrt{2}=2a$ và $AK=\dfrac{1}{2}SC=a$ (đường cao đồng thời là trung tuyến).
$\Rightarrow $ Bán kính đáy hình nón $\left( N \right)$ là $R=\dfrac{1}{2}AK=\dfrac{1}{2}a.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot \left( SBC \right) \\
& AK\bot SC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot SC\Rightarrow SC\bot \left( AHKL \right).$
Trong $\left( SAC \right)$ kẻ đường thẳng song song với $SC$ cắt $AC$ tại $I,$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& I\in \left( ABD \right) \\
& OI//SC\Rightarrow OI\bot \left( AHKL \right) \\
\end{aligned} \right..$
$\Rightarrow I$ là đỉnh của hình nón $\left( N \right)$ và $IO$ là đường cao của hình nón $\left( N \right).$
Dễ thấy $OI$ là đường trung bình của tam giác $AKC$ nên $OI=\dfrac{1}{2}KC=\dfrac{1}{4}SC=\dfrac{a}{2}=h.$
Vậy thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi .{{R}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}.\dfrac{a}{4}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{48}.$
Đáp án A.