Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông, $A B = 1$ , cạnh...

The Collectors · 14/3/22

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình vuông,

A B = 1

, cạnh bên

S A = 1

và vuông góc với mặt phẳng đáy

(A B C D)

. Kí hiệu

M

là điểm di động trên đoạn

C D

và

N

là điểm di động trên đoạn

C B

sao cho

\hat{M A N} = 45^{\circ}

. Thể tích nhỏ nhất của khối chóp

S . A M N

là
A.

\frac{\sqrt{2} - 1}{3}

.
B.

\frac{\sqrt{2} + 1}{9}

.
C.

\frac{\sqrt{2} + 1}{6}

.
D.

\frac{\sqrt{2} - 1}{9}

.

Đặt

D M = x; B N = y (0 < x, y < 1)

Ta có

S_{Δ A M N} = S_{A B C D} - S_{Δ A B N} - S_{Δ A D M} - S_{Δ C M N} = 1 - \frac{1}{2} [x + y + (1 - x) (1 - y)] = \frac{1}{2} (1 - x y)

Xét tam giác vuông

C M N

:

M N^{2} = {(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2} (1)

.
Áp dụng định lí

\cos

cho tam giác

Δ A M N

:

M N^{2} = A M^{2} + A N^{2} - 2. A M . A N . \cos 45^{\circ} = 1 + x^{2} + 1 + y^{2} - \sqrt{2} . \sqrt{x^{2} + 1} . \sqrt{y^{2} + 1} (2)

Từ (1) và (2) suy ra

\begin{aligned} {(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2} = 1 + x^{2} + 1 + y^{2} - \sqrt{2} . \sqrt{x^{2} + 1} . \sqrt{y^{2} + 1} \\ \Leftrightarrow 2 x + 2 y = \sqrt{2 (x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = x^{2} y^{2} + 1 - 4 x y (3) \end{aligned}

Ta có

x^{2} + y^{2} \geq 2 x y (4)

Từ (3) và (4) suy ra

x^{2} y^{2} + 1 - 4 x y \geq 2 x y \Leftrightarrow {(x y)}^{2} - 6 x y + 1 \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x y \geq 3 + 2 \sqrt{2} (l o a i) \\ x y \leq 3 - 2 \sqrt{2} \end{aligned}

\Rightarrow

S_{Δ A M N} = \frac{1}{2} (1 - x y) \geq \sqrt{2} - 1

\Rightarrow

V_{S . A M N} = \frac{1}{3} . S A . S_{Δ A M N} \geq \frac{\sqrt{2} - 1}{3}

Dấu

^{″} =^{″}

xảy ra

{\begin{aligned} x = y \\ x y = 3 - 2 \sqrt{2} \end{aligned} \Leftrightarrow x = y = \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}

Vậy thể tích nhỏ nhất của khối chóp

S . A M N

bằng

\frac{\sqrt{2} - 1}{3}

Đáp án A.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB=1, cạnh...