Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ cạnh $a.$ Biết $SA=SB=SC=a.$ Đặt $SD=x\left( 0<x<a\sqrt{3} \right).$ Tính $x$ theo $a$...

Ta có $\Delta SAC=\Delta ABC\left( c-c-c \right)$ và $\Delta SAC,\Delta ABC$ lần lượt cân tại $S$ và $B.$
Khi đó $SO=BO=\dfrac{BD}{2}.$ Suy ra $\Delta SBD$ vuông tại $S$ (đường trung tuyến bằng $\dfrac{1}{2}$ cạnh đối diện).
Trong $\Delta SBD$ ta có: $BD=\sqrt{S{{B}^{2}}+S{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}.$
Trong $\Delta ABD$ áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:
$AO=\sqrt{\dfrac{2\left( A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}} \right)}{4}-\dfrac{B{{D}^{2}}}{4}}=\sqrt{\dfrac{2\left( {{a}^{2}}+{{a}^{2}} \right)-\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}{4}}=\dfrac{\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{2}.$
Suy ra $AC=2AO=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}.$
Khi đó $AC.SD=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}.x=\sqrt{\left( 3{{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right){{x}^{2}}}.$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) ta có: $AC.SD=\sqrt{\left( 3{{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right){{x}^{2}}}\le \dfrac{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}+{{x}^{2}}}{2}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}$
Vậy $\max AC.SD=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}.$
Dấu "=" xảy ra $3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}={{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$