Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$. Biết $AC=4\sqrt{3}a,BD=4a,SD=2\sqrt{2}a$ và $SO$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng...

Ta có $AB//CD,CD\subset \left(SCD\right)\Rightarrow AB//\left(SCD\right)$
Lại có $SD\subset \left(SCD\right)\Rightarrow d(AB,SD)=d(AB,\left(SCD\right))=d(A,\left(SCD\right))$
Mặt khác $OA\cap \left(SCD\right)=C\Rightarrow d(A,\left(SCD\right))={\displaystyle \frac{CA}{CO}}.d(O,\left(SCD\right))=2d(O,\left(SCD\right)).$
Trong tam giác $OCD$ vuông tại $O,$ kẻ $OM\mathrm{\perp }CD,$ ta có $SO\mathrm{\perp }CD\Rightarrow CD\mathrm{\perp }\left(SOM\right)$
Mà $CD\subset \left(SCD\right)\Rightarrow \left(SOM\right)\mathrm{\perp }\left(SCD\right)$
Trong mặt phẳng $\left(SOM\right),$ kẻ $OH\mathrm{\perp }OM$
Ta có $\{\begin{array}{rl}& \left(SOM\right)\mathrm{\perp }\left(SCD\right)\\ & \left(SOM\right)\cap \left(SCD\right)=SM\\ & OH\subset \left(SOM\right),OH\mathrm{\perp }SM\end{array}\Rightarrow OH\mathrm{\perp }\left(SCD\right)\Rightarrow d(O,\left(SCD\right))=OH$.
Tam giác $SOD$ vuông tại $O,$ có $OD={\displaystyle \frac{1}{2}}BD=2a,SD=2\sqrt{2}a$
$\Rightarrow SO=\sqrt{S{D}^2-O{D}^2}=2a.$
Tam giác $OCD$ vuông tại $O,$ có $OD=2a,OC=2\sqrt{3}a$ và $OM\mathrm{\perp }CD$
$\Rightarrow OM={\displaystyle \frac{OC.OD}{\sqrt{O{C}^2+O{D}^2}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}a.2a}{\sqrt{{\left(2\sqrt{3}a\right)}^2+{\left(2a\right)}^2}}}\Rightarrow OM=\sqrt{3}a.$
Tam giác $SOM$ vuông tại $O,$ có $OM=\sqrt{3}a,SO=2a$ và $OH\mathrm{\perp }SM$
$\Rightarrow OH={\displaystyle \frac{SO.OM}{\sqrt{S{O}^2+O{M}^2}}}={\displaystyle \frac{2a.\sqrt{3}a}{\sqrt{{\left(2a\right)}^2+{\left(\sqrt{3}a\right)}^2}}}\Rightarrow OH={\displaystyle \frac{2\sqrt{21}a}{7}}.$
Vậy $d(AB,SD)=2d(O,\left(SCD\right))={\displaystyle \frac{4\sqrt{21}a}{7}}.$