Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$. Biết $AC=4\sqrt{3}a,BD=4a,SD=2\sqrt{2}a$ và $SO$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng...

Ta có $AB//CD,CD\subset \left( SCD \right)\Rightarrow AB//\left( SCD \right)$
Lại có $SD\subset \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( AB,SD \right)=d\left( AB,\left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right)$
Mặt khác $OA\cap \left( SCD \right)=C\Rightarrow d\left( A,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{CA}{CO}.d\left( O,\left( SCD \right) \right)=2d\left( O,\left( SCD \right) \right).$
Trong tam giác $OCD$ vuông tại $O,$ kẻ $OM\bot CD,$ ta có $SO\bot CD\Rightarrow CD\bot \left( SOM \right)$
Mà $CD\subset \left( SCD \right)\Rightarrow \left( SOM \right)\bot \left( SCD \right)$
Trong mặt phẳng $\left( SOM \right),$ kẻ $OH\bot OM$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SOM \right)\bot \left( SCD \right) \\
& \left( SOM \right)\cap \left( SCD \right)=SM \\
& OH\subset \left( SOM \right),OH\bot SM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( O,\left( SCD \right) \right)=OH$.
Tam giác $SOD$ vuông tại $O,$ có $OD=\dfrac{1}{2}BD=2a,SD=2\sqrt{2}a$
$\Rightarrow SO=\sqrt{S{{D}^{2}}-O{{D}^{2}}}=2a.$
Tam giác $OCD$ vuông tại $O,$ có $OD=2a,OC=2\sqrt{3}a$ và $OM\bot CD$
$\Rightarrow OM=\dfrac{OC.OD}{\sqrt{O{{C}^{2}}+O{{D}^{2}}}}=\dfrac{2\sqrt{3}a.2a}{\sqrt{{{\left( 2\sqrt{3}a \right)}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}}}\Rightarrow OM=\sqrt{3}a.$
Tam giác $SOM$ vuông tại $O,$ có $OM=\sqrt{3}a,SO=2a$ và $OH\bot SM$
$\Rightarrow OH=\dfrac{SO.OM}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{M}^{2}}}}=\dfrac{2a.\sqrt{3}a}{\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{3}a \right)}^{2}}}}\Rightarrow OH=\dfrac{2\sqrt{21}a}{7}.$
Vậy $d\left( AB,SD \right)=2d\left( O,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{4\sqrt{21}a}{7}.$