Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $a$ và...

Phương pháp:
- Gọi $H$ là trung điểm của $AB,$ chứng minh $SH\bot \left( ABCD \right)$.
- Đổi $d\left( A;\left( SBC \right) \right)$ sang $d\left( H;\left( SBC \right) \right)$.
- Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,BM.$ Trong $\left( SHN \right)$ kẻ $HK\bot SN\left( K\in SN \right),$ chứng minh $HK\bot \left( SAB \right).$
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Cách giải:

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ ta có $SH\bot AB$ (do $\Delta SAB$ đều).
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)=AB \\
& SH\subset \left( SAB \right),SH\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
Ta có $AH\cap \left( SBC \right)=B\Rightarrow \dfrac{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}{d\left( H;\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{AB}{HB}=2\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=2d\left( H;\left( SBC \right) \right)$
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,BM.$ Trong $\left( SHN \right)$ kẻ $HK\bot SN\left( K\in SN \right)$ ta có:
$\Delta ABC$ có $\left\{ \begin{aligned}
& AB=BC=a \\
& \angle ABC={{60}^{0}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta ABC $ đều cạnh $ a\Rightarrow AM\bot BC.$
$HN$ là đường trung bình của tam giác $ABM$ nên $HN//AM\Rightarrow HN\bot BC.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot HN \\
& BC\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SHN \right)\Rightarrow BC\bot HK$
$\left\{ \begin{aligned}
& HK\bot BC \\
& HK\bot SN \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow HK\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( H;\left( SBC \right) \right)=HK$
Vì $\Delta ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow HN=\dfrac{1}{2}AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Vì $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ nên $AB=a\Rightarrow \Delta SAB$ đều cạnh $a\Rightarrow SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SHN$ ta có $HK=\dfrac{SH.HN}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{N}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{3{{a}^{2}}}{16}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}.$
Vậy $d\left( A;\left( SBC \right) \right)=2HK=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.$