Cho hình chóp ${S.ABCD}$ có đáy ${ABCD}$ là hình thoi cạnh ${a}$...

Vì các mặt bên của hình chóp cùng tạo với đáy một góc bằng 45° nên hình chiếu của điểm S trên (ABCD) trùng với điểm O là tâm đường tròn nội tiếp hình thoi ABCD (O là giao của hai đường chéo).

+ Vì $AB//CD,CD\subset \left( SCD \right)\Rightarrow AB//\left( SCD \right).$ Do đó:

$d\left( AB;SC \right)=d\left( AB;\left( SCD \right) \right)=d\left( A;\left( SCD \right) \right)=2d\left( O;\left( SCD \right) \right).$

Trong mặt phẳng (ABCD) từ 0 kẻ $ON\bot CD$ mà $SO\bot CD$ (vì $SO\bot \left( ABCD \right))$ nên $CD\bot \left( SNO \right)\Rightarrow \left( SCD \right)\bot \left( SNO \right)$

Do đó trong (SNO) từ O kẻ $OH\bot SN$ suy ra $OH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( O;\left( SCD \right) \right)=OH$. Vậy $d\left( AB;SC \right)=2OH.$

+ $\Delta ABC$ là tam giác đều cạnh $a\Rightarrow OB=OD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

$\left. \begin{aligned}

& \left( SCD \right)\cap \left( ABCD \right)=CD \\

& ON\subset \left( ABCD \right),ON\bot CD \\

& SN\subset \left( SCD \right),SN\bot CD\left( do CD\bot \left( SON \right) \right) \\

\end{aligned} \right\}$

$\Rightarrow \left( \left( SCD \right),\widehat{\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{\left( ON,SN \right)}=\widehat{SNO}={{45}^{0}}$

+ $\Delta OCD$ vuông tại 0 $:\dfrac{1}{O{{N}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}\Rightarrow ON=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$

+ $\Delta SNO$ vuông cân tại O nên $SO=ON=\dfrac{a\sqrt{3}}{4};\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{6}}{8}$

Vậy $d\left( AB;SC \right)=2OH=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$