Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$. Tam giác $ABC$ đều, hình chiếu vuông góc $H$ của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ trùng với trọng tâm của tam giác $ABC$. Đường thẳng $SD$ hợp với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ góc $30{}^\circ $. Tính khoảng cách $d$ từ $B$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ theo $a$.
A. $d=a\sqrt{3}.$
B. $d=a.$
C. $d=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
D. $d=\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}.$
A. $d=a\sqrt{3}.$
B. $d=a.$
C. $d=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
D. $d=\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}.$
Phương pháp:
- Xác định góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy ( ABCD) là góc giữa SD và hình chiếu của SD lên ( ABCD) - Đổi khoảng cách từ $d\left( B;\left( SCD \right) \right)$ sang $d\left( H;\left( SCD \right) \right)$ với Hlà chân đường cao của khối chóp, sử dụng công thức: $\dfrac{d\left( B;\left( SCD \right) \right)}{d\left( H;\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{BM}{HM}$ với $M=BH\cap \left( SCD \right).~$
- Xác định khoảng cách từ Hđến ( SCD) . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Cách giải:
Gọi Hlà trọng tâm tam giác đều ABC⇒ SH⊥ ( ABCD) .
⇒ HDlà hình chiếu của SDlên ( ABCD) .
$\Rightarrow \angle \left( SD;\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SD;HD \right)=\angle SDH={{30}^{0}}.~$
Ta có: $\dfrac{BH}{BO}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \dfrac{BH}{BD}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{HD}{BD}=\dfrac{2}{3}$
Mà $BH\cap \left( SCD \right)=D\Rightarrow \dfrac{d\left( B;\left( SCD \right) \right)}{d\left( H;\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{BD}{HD}=\dfrac{3}{2}$ ⇒ $d\left( B;\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left( H;\left( SCD \right) \right).~$
Ta có Hlà trọng tâm tam giác đều ABCnên HC⊥ AB. Mà $AB//CD~$ nên HC⊥ CD.
Trong ( SHC) kẻ $HK\bot SC.~$
Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot CH \\
& CD\bot SH \\
\end{aligned} \right. $ ⇒ $ CD\bot \left( SHC \right)\Rightarrow CD\bot HK.~$
$\left\{ \begin{aligned}
& HK\bot SC \\
& HK\bot CD \\
\end{aligned} \right.$ ⇒ HK⊥ ( SCD) ⇒ d( H; ( SCD) ) = HK.
Vì tam giác ABCđều cạnh anên $HC=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có: $\dfrac{HD}{BD}=\dfrac{2}{3}$, mà $BD=2BO=2.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\Rightarrow HD=\dfrac{2}{3}BD=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$
Xét tam giác vuông SHDta có: $SH=HD.\tan {{30}^{0}}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2a}{3}$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHCta có: $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{\dfrac{4{{a}^{2}}}{9}}+\dfrac{1}{\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{2\sqrt{21}}{21}a$
Vậy $d\left( B;\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{2}HK=\dfrac{3\sqrt{21}}{21}a$
- Xác định góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy ( ABCD) là góc giữa SD và hình chiếu của SD lên ( ABCD) - Đổi khoảng cách từ $d\left( B;\left( SCD \right) \right)$ sang $d\left( H;\left( SCD \right) \right)$ với Hlà chân đường cao của khối chóp, sử dụng công thức: $\dfrac{d\left( B;\left( SCD \right) \right)}{d\left( H;\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{BM}{HM}$ với $M=BH\cap \left( SCD \right).~$
- Xác định khoảng cách từ Hđến ( SCD) . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Cách giải:
Gọi Hlà trọng tâm tam giác đều ABC⇒ SH⊥ ( ABCD) .
⇒ HDlà hình chiếu của SDlên ( ABCD) .
$\Rightarrow \angle \left( SD;\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SD;HD \right)=\angle SDH={{30}^{0}}.~$
Ta có: $\dfrac{BH}{BO}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \dfrac{BH}{BD}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{HD}{BD}=\dfrac{2}{3}$
Mà $BH\cap \left( SCD \right)=D\Rightarrow \dfrac{d\left( B;\left( SCD \right) \right)}{d\left( H;\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{BD}{HD}=\dfrac{3}{2}$ ⇒ $d\left( B;\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left( H;\left( SCD \right) \right).~$
Ta có Hlà trọng tâm tam giác đều ABCnên HC⊥ AB. Mà $AB//CD~$ nên HC⊥ CD.
Trong ( SHC) kẻ $HK\bot SC.~$
Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot CH \\
& CD\bot SH \\
\end{aligned} \right. $ ⇒ $ CD\bot \left( SHC \right)\Rightarrow CD\bot HK.~$
$\left\{ \begin{aligned}
& HK\bot SC \\
& HK\bot CD \\
\end{aligned} \right.$ ⇒ HK⊥ ( SCD) ⇒ d( H; ( SCD) ) = HK.
Vì tam giác ABCđều cạnh anên $HC=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có: $\dfrac{HD}{BD}=\dfrac{2}{3}$, mà $BD=2BO=2.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\Rightarrow HD=\dfrac{2}{3}BD=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$
Xét tam giác vuông SHDta có: $SH=HD.\tan {{30}^{0}}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2a}{3}$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHCta có: $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{\dfrac{4{{a}^{2}}}{9}}+\dfrac{1}{\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{2\sqrt{21}}{21}a$
Vậy $d\left( B;\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{2}HK=\dfrac{3\sqrt{21}}{21}a$
Đáp án C.