Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$. Tam giác $ABC$ là tam giác đều , hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ trùng với trọng tâm tam giác $ABC$. Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $30{}^\circ $. Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$.
A. $\dfrac{2a\sqrt{21}}{3}$.
B. $a\sqrt{3}$.
C. $a$.
D. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Gọi $H$ là trọng tâm tam giác $ABC$ suy ra $SH\bot \left( ABCD \right)$.
Khi đó góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $\widehat{SDH}=30{}^\circ $.
Ta có tam giác $ABC$ đều nên $HB=HC=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ và $BD=a\sqrt{3}$.
Do đó $HD=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$ suy ra $SH=HD.\tan 30{}^\circ =\dfrac{2a}{3}$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên $SC$ suy ra $HK\bot \left( SCD \right)$ hay $\text{d}\left( H,\left( SCD \right) \right)=HK$.
Ta có $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}\Leftrightarrow HK=\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}$.
Mặt khác $HD=\dfrac{2}{3}BH$ suy ra $\text{d}\left( B,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{2}\text{d}\left( H,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{2}HK=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Vậy $\text{d}\left( B,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
A. $\dfrac{2a\sqrt{21}}{3}$.
B. $a\sqrt{3}$.
C. $a$.
D. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Khi đó góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $\widehat{SDH}=30{}^\circ $.
Ta có tam giác $ABC$ đều nên $HB=HC=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ và $BD=a\sqrt{3}$.
Do đó $HD=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$ suy ra $SH=HD.\tan 30{}^\circ =\dfrac{2a}{3}$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên $SC$ suy ra $HK\bot \left( SCD \right)$ hay $\text{d}\left( H,\left( SCD \right) \right)=HK$.
Ta có $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}\Leftrightarrow HK=\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}$.
Mặt khác $HD=\dfrac{2}{3}BH$ suy ra $\text{d}\left( B,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{2}\text{d}\left( H,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{2}HK=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Vậy $\text{d}\left( B,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Đáp án D.