Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$. Tam giác $ABC$ là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ trùng với trọng tâm tam giác $ABC$. Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $30{}^\circ $. Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ theo $a$.
A. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
B. $a\sqrt{3}$
C. $a$.
D. $\dfrac{2a\sqrt{21}}{3}$.
Gọi $H$ là trọng tâm tam giác $\Delta ABC$, $O$ là tâm của hình thoi $ABCD$.
Do $SH\bot \left( ABCD \right)$ : $\left( \widehat{SD,\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SDH}=30{}^\circ $.
Xét tam giác $\Delta SDH$ vuông tại $H$ có: $\widehat{SDH}=30{}^\circ $ ; $HD=\dfrac{2}{3}BD=\dfrac{4}{3}BO=\dfrac{4}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
$\dfrac{SH}{HD}=\tan \widehat{SDH}\Rightarrow SH=HD.\tan \widehat{SDH}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.\tan 30{}^\circ =\dfrac{2a}{3}.$
Từ $H$ hạ $HI\bot SC$ tại $I$.
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& HI\bot SC \\
& HI\bot CD \left( CD\bot \left( SHC \right) \right) \\
& SC,CD\subset \left( SCD \right) \\
& SC\bigcap CD=\left\{ C \right\} \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow HI\bot \left( SCD \right)$
Từ đó, khoảng cách từ điểm $H$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ : $d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HI$.
Xét tam giác $\Delta SHC$ vuông tại $H$, đường cao $HI$ :
$HI=\dfrac{HS.HC}{\sqrt{H{{S}^{2}}+H{{C}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{2a}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{{{\left( \dfrac{2a}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}}=\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}$.
Mặt khác: $\dfrac{d\left( B,\left( SCD \right) \right)}{d\left( H,\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{DB}{DH}=\dfrac{3}{2}$.
Vậy khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ :
$d\left( B,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left( H,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{2}HI=\dfrac{3}{2}.\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Cách khác:
Thể tích khối chóp $S.BCD$ :
${{V}_{S.BCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{BCD}}=\dfrac{1}{3}SH.\dfrac{1}{2}.CB.CD.\sin \widehat{BCD}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{1}{2}.a.a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{18}$ (đvtt).
Xét tam giác $\Delta SCD$ có: $SD=\dfrac{SH}{\sin 30{}^\circ }=\dfrac{4a}{3}; CD=a; SC=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{3}$.
Diện tích tam giác $\Delta SCD$ : ${{S}_{\Delta SCD}}=\sqrt{p\left( p-SC \right)\left( p-SD \right)\left( p-CD \right)}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{7}}{6}$ (đvdt).
( $p=\dfrac{SC+SD+CD}{2}$ là nửa chu vi tam giác $\Delta SCD$ ).
Vậy khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ :
$d\left( B,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3.{{V}_{B.SCD}}}{{{S}_{\Delta SCD}}}=\dfrac{3.{{V}_{S.BCD}}}{{{S}_{\Delta SCD}}}=\dfrac{3.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{18}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{7}}{6}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
A. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
B. $a\sqrt{3}$
C. $a$.
D. $\dfrac{2a\sqrt{21}}{3}$.
Gọi $H$ là trọng tâm tam giác $\Delta ABC$, $O$ là tâm của hình thoi $ABCD$.
Do $SH\bot \left( ABCD \right)$ : $\left( \widehat{SD,\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SDH}=30{}^\circ $.
Xét tam giác $\Delta SDH$ vuông tại $H$ có: $\widehat{SDH}=30{}^\circ $ ; $HD=\dfrac{2}{3}BD=\dfrac{4}{3}BO=\dfrac{4}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
$\dfrac{SH}{HD}=\tan \widehat{SDH}\Rightarrow SH=HD.\tan \widehat{SDH}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.\tan 30{}^\circ =\dfrac{2a}{3}.$
Từ $H$ hạ $HI\bot SC$ tại $I$.
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& HI\bot SC \\
& HI\bot CD \left( CD\bot \left( SHC \right) \right) \\
& SC,CD\subset \left( SCD \right) \\
& SC\bigcap CD=\left\{ C \right\} \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow HI\bot \left( SCD \right)$
Từ đó, khoảng cách từ điểm $H$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ : $d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HI$.
Xét tam giác $\Delta SHC$ vuông tại $H$, đường cao $HI$ :
$HI=\dfrac{HS.HC}{\sqrt{H{{S}^{2}}+H{{C}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{2a}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{{{\left( \dfrac{2a}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}}=\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}$.
Mặt khác: $\dfrac{d\left( B,\left( SCD \right) \right)}{d\left( H,\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{DB}{DH}=\dfrac{3}{2}$.
Vậy khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ :
$d\left( B,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left( H,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{2}HI=\dfrac{3}{2}.\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Cách khác:
Thể tích khối chóp $S.BCD$ :
${{V}_{S.BCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{BCD}}=\dfrac{1}{3}SH.\dfrac{1}{2}.CB.CD.\sin \widehat{BCD}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{1}{2}.a.a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{18}$ (đvtt).
Xét tam giác $\Delta SCD$ có: $SD=\dfrac{SH}{\sin 30{}^\circ }=\dfrac{4a}{3}; CD=a; SC=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{3}$.
Diện tích tam giác $\Delta SCD$ : ${{S}_{\Delta SCD}}=\sqrt{p\left( p-SC \right)\left( p-SD \right)\left( p-CD \right)}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{7}}{6}$ (đvdt).
( $p=\dfrac{SC+SD+CD}{2}$ là nửa chu vi tam giác $\Delta SCD$ ).
Vậy khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ :
$d\left( B,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3.{{V}_{B.SCD}}}{{{S}_{\Delta SCD}}}=\dfrac{3.{{V}_{S.BCD}}}{{{S}_{\Delta SCD}}}=\dfrac{3.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{18}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{7}}{6}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
Đáp án A.