Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABCD}$ có đáy ${ABCD}$ là hình thang vuông tại ${A}$ và ${B}$. Biết ${AB=BC=a}$, ${AD=2a}$, ${SA=a\sqrt{2}}$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khi đó giá trị sin của góc giữa hai mặt phẳng ${\left( SBD \right)}$ và ${\left( SCD \right)}$ bằng
A. ${\dfrac{\sqrt{14}}{7}}$.
B. ${\dfrac{\sqrt{14}}{21}}$.
C. ${\dfrac{\sqrt{21}}{7}}$.
D. ${\dfrac{\sqrt{21}}{14}}$.
Ta có $SD=\left( SBD \right)\cap \left( SCD \right).$
Kiểm tra ta thấy $\Delta SCD$ vuông tại C hay $SC\bot CD.$
Mà $AC\bot CD$ nên $CD\bot \left( SAC \right).$
Suy ra $\left( SAC \right)\bot \left( SCD \right)$ theo giao tuyến SC.
Gọi $E=AC\cap BD$ và $H\in SC$ : $EH\bot SC.$
Khi đó $EH\bot \left( SCD \right),$ gọi $HK\bot SD\left( K\in SD \right).$
Theo định lý 3 đường vuông góc suy ra $KE\bot SD.$
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (SCD) là $\widehat{EKH}$.
Do $BC\text{ // }AD\Rightarrow \dfrac{EA}{EC}=\dfrac{AD}{BC}=2\Rightarrow EC=\dfrac{AC}{3}=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$
$\Delta CEH\sim \Delta CSA\Rightarrow \dfrac{HC}{CA}=\dfrac{CE}{CS}=\dfrac{HE}{SA}\Rightarrow HC=HE=\dfrac{a}{3}$ suy ra $SH=SC-HC=\dfrac{5a}{3}$
$\Delta SHK\sim \Delta SDC\Rightarrow \dfrac{SH}{SD}=\dfrac{HK}{CD}=\dfrac{5a\sqrt{3}}{9}$
- Vậy sin X $\widehat{EKH}=\dfrac{HE}{EK}=\dfrac{HE}{\sqrt{H{{E}^{2}}+H{{K}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{21}}{14}$
A. ${\dfrac{\sqrt{14}}{7}}$.
B. ${\dfrac{\sqrt{14}}{21}}$.
C. ${\dfrac{\sqrt{21}}{7}}$.
D. ${\dfrac{\sqrt{21}}{14}}$.
Ta có $SD=\left( SBD \right)\cap \left( SCD \right).$
Kiểm tra ta thấy $\Delta SCD$ vuông tại C hay $SC\bot CD.$
Mà $AC\bot CD$ nên $CD\bot \left( SAC \right).$
Suy ra $\left( SAC \right)\bot \left( SCD \right)$ theo giao tuyến SC.
Gọi $E=AC\cap BD$ và $H\in SC$ : $EH\bot SC.$
Khi đó $EH\bot \left( SCD \right),$ gọi $HK\bot SD\left( K\in SD \right).$
Theo định lý 3 đường vuông góc suy ra $KE\bot SD.$
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (SCD) là $\widehat{EKH}$.
Do $BC\text{ // }AD\Rightarrow \dfrac{EA}{EC}=\dfrac{AD}{BC}=2\Rightarrow EC=\dfrac{AC}{3}=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$
$\Delta CEH\sim \Delta CSA\Rightarrow \dfrac{HC}{CA}=\dfrac{CE}{CS}=\dfrac{HE}{SA}\Rightarrow HC=HE=\dfrac{a}{3}$ suy ra $SH=SC-HC=\dfrac{5a}{3}$
$\Delta SHK\sim \Delta SDC\Rightarrow \dfrac{SH}{SD}=\dfrac{HK}{CD}=\dfrac{5a\sqrt{3}}{9}$
- Vậy sin X $\widehat{EKH}=\dfrac{HE}{EK}=\dfrac{HE}{\sqrt{H{{E}^{2}}+H{{K}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{21}}{14}$
Đáp án D.