Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABCD}$ có đáy ${ABCD}$ là hình thang vuông tại ${A}$ và ${D}$, ${AD = DC = x}$, ${AB = 2x}$. Tam giác ${SAB}$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi ${G}$ là trọng tâm của tam giác ${SAD}$. Tính khoảng cách ${d}$ từ điểm ${G}$ đến mặt phẳng ${\left( {SBC} \right)}$.
A. ${d = \dfrac{{x\sqrt {21} }}{7}}$.
B. ${d = \dfrac{{4x\sqrt {21} }}{{63}}}$.
C. ${d = \dfrac{{x\sqrt {15} }}{5}}$.
D. ${d = \dfrac{{4x\sqrt {15} }}{{45}}}$.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD và BC, và gọi $MH\bot BC=E.$
VÌ MN là đường trung bình của hình thang ABCD nên $MN=\dfrac{AB+DC}{2}=\dfrac{3x}{2}$
Ta có $BH\text{ //}MN$ nên ta có $\dfrac{EH}{EM}=\dfrac{HB}{MN}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow EH=\dfrac{2}{3}EM\Rightarrow MH=\dfrac{1}{3}ME$
Ta lại có $MG=\dfrac{1}{3}MS$
Xét $\Delta SME$ vì có $\dfrac{MG}{MS}=\dfrac{MH}{ME}\left( \dfrac{1}{3} \right)$ nên $GH//SE$ mà $SE\subset \left( SBE \right)$ và $\left( SBE \right)=\left( SBC \right)$
Suy ra $GH//\left( SBC \right)\Rightarrow d\left( G\left( SBC \right) \right)=d\left( H\left( SBC \right) \right)$
Gọi H là trung điểm của cạnh AB, mà SAB là tam giác đều.
Suy ra $SH\bot AB.$
Ta có :$\left\{ \begin{aligned}
& \\
& \begin{array}{*{35}{l}}
\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
\left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB,\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right) \\
\begin{aligned}
& SH\bot AB \\
& SH\subset \left( SAB \right) \\
\end{aligned} \\
\end{array} \\
\end{aligned} \right.$
Xét tứ giác ADCH, có $AH\text{ // }DC,$ và AH = DC nên tứ giác ADCH là hình bình hành.
Mà $AH\bot AD$ và AH = AD nên tứ giác ADCH là hình vuông.
Xét $\Delta BHC$ vuông tại H, có $HC=HB=x$ nên suy ra $\Delta BHC$ vuông tại cân H.
Mà N là trung điểm BC nên suy ra $HN\bot BC$
Gọi Klà hình chiếu vuông góc của H trên cạnh SN, suy ra $HK\bot SN.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot HN \\
& BC\bot HN \\
& HN\cap SH=H \\
& HN,SH\subset \left( SHN \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SHN \right) $ mà$ HK\subset \left( SHN \right) $ suy ra$ BC\bot HK$
Ta lại có
có $\left\{ \begin{aligned}
& HK\bot SN \\
& HK\bot BC \\
& SN\cap BC \\
& SN,BC\subset \left( SBC \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow HK\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( H,\left( SBC \right) \right)=HK$
Vì $\Delta HBC$ là tam giác đều cạnh 2 nên ta có đường cao $SH=x\sqrt{3}$
Xét $\Delta SAB$ vuông tại H, có $HK=\dfrac{SH.HN}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{N}^{2}}}}=\dfrac{x\sqrt{3}.\dfrac{x\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3{{x}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}}=\dfrac{x.\sqrt{21}}{7}$
A. ${d = \dfrac{{x\sqrt {21} }}{7}}$.
B. ${d = \dfrac{{4x\sqrt {21} }}{{63}}}$.
C. ${d = \dfrac{{x\sqrt {15} }}{5}}$.
D. ${d = \dfrac{{4x\sqrt {15} }}{{45}}}$.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD và BC, và gọi $MH\bot BC=E.$
VÌ MN là đường trung bình của hình thang ABCD nên $MN=\dfrac{AB+DC}{2}=\dfrac{3x}{2}$
Ta có $BH\text{ //}MN$ nên ta có $\dfrac{EH}{EM}=\dfrac{HB}{MN}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow EH=\dfrac{2}{3}EM\Rightarrow MH=\dfrac{1}{3}ME$
Ta lại có $MG=\dfrac{1}{3}MS$
Xét $\Delta SME$ vì có $\dfrac{MG}{MS}=\dfrac{MH}{ME}\left( \dfrac{1}{3} \right)$ nên $GH//SE$ mà $SE\subset \left( SBE \right)$ và $\left( SBE \right)=\left( SBC \right)$
Suy ra $GH//\left( SBC \right)\Rightarrow d\left( G\left( SBC \right) \right)=d\left( H\left( SBC \right) \right)$
Gọi H là trung điểm của cạnh AB, mà SAB là tam giác đều.
Suy ra $SH\bot AB.$
Ta có :$\left\{ \begin{aligned}
& \\
& \begin{array}{*{35}{l}}
\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
\left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB,\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right) \\
\begin{aligned}
& SH\bot AB \\
& SH\subset \left( SAB \right) \\
\end{aligned} \\
\end{array} \\
\end{aligned} \right.$
Xét tứ giác ADCH, có $AH\text{ // }DC,$ và AH = DC nên tứ giác ADCH là hình bình hành.
Mà $AH\bot AD$ và AH = AD nên tứ giác ADCH là hình vuông.
Xét $\Delta BHC$ vuông tại H, có $HC=HB=x$ nên suy ra $\Delta BHC$ vuông tại cân H.
Mà N là trung điểm BC nên suy ra $HN\bot BC$
Gọi Klà hình chiếu vuông góc của H trên cạnh SN, suy ra $HK\bot SN.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot HN \\
& BC\bot HN \\
& HN\cap SH=H \\
& HN,SH\subset \left( SHN \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SHN \right) $ mà$ HK\subset \left( SHN \right) $ suy ra$ BC\bot HK$
Ta lại có
có $\left\{ \begin{aligned}
& HK\bot SN \\
& HK\bot BC \\
& SN\cap BC \\
& SN,BC\subset \left( SBC \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow HK\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( H,\left( SBC \right) \right)=HK$
Vì $\Delta HBC$ là tam giác đều cạnh 2 nên ta có đường cao $SH=x\sqrt{3}$
Xét $\Delta SAB$ vuông tại H, có $HK=\dfrac{SH.HN}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{N}^{2}}}}=\dfrac{x\sqrt{3}.\dfrac{x\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3{{x}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}}=\dfrac{x.\sqrt{21}}{7}$
Đáp án A.