Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $B$...

Phương pháp:
Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.
Cách giải:

Gọi $E$ là trung điểm của $CD\Rightarrow ABCE$ là hình chữ nhật.
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi $a=1.$ Ta có:
$A\left( 0;0;0 \right),B\left( 0;1;0 \right),C\left( 2;1;0 \right),E\left( 2;0;0 \right),S\left( 0;0;\sqrt{3} \right).$
Vì $E$ là trung điểm của $CD\Rightarrow D\left( 2;-1;0 \right).$
Vì $M$ là trung điểm của $SD\Rightarrow M\left( 1;-\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right).$
Vì $2\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NS}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{SN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{SA}.$
$\Rightarrow \left( {{x}_{N}};{{y}_{N}};{{z}_{N}}-\sqrt{3} \right)=\dfrac{2}{3}\left( 0;0;-\sqrt{3} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{N}}=0 \\
& {{y}_{N}}=0 \\
& {{z}_{N}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow N\left( 0;0;\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right).$
Ta có: $\left( ABCD \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right).$
$\left( SAC \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{k};\overrightarrow{AC} \right]=\left( -1;2;0 \right).$
$\overrightarrow{MN}=\left( -1;\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{6} \right)$ nên $\left( \alpha \right)$ chứa $MN$ và vuông góc với $\left( SAC \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{3}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{2}}};\overrightarrow{MN} \right]=\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{3};-\dfrac{\sqrt{3}}{6};\dfrac{3}{2} \right)//\left( -2;-1;3\sqrt{3} \right)=\overrightarrow{n}.$
Vậy $\cos \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{6}}{8}.$