Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D.$ Biết $AB=4a,AD=CD=2a.$ Cạnh bên $SA=3a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SBC,M$ là điểm sao cho $\overrightarrow{MA}=-2\overrightarrow{MS}$ và $E$ là trung điểm cạnh $CD$ (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích $V$ của khối đa diện $MGABE.$
A. $\dfrac{13{{a}^{3}}}{4}$
B. $\dfrac{27{{a}^{3}}}{8}$
C. $\dfrac{25{{a}^{3}}}{9}$
D. $\dfrac{10{{a}^{3}}}{3}$
A. $\dfrac{13{{a}^{3}}}{4}$
B. $\dfrac{27{{a}^{3}}}{8}$
C. $\dfrac{25{{a}^{3}}}{9}$
D. $\dfrac{10{{a}^{3}}}{3}$
Cách giải:
Gọi $N,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ và $AK\cap CN=H.$
Khi đó $H$ là trọng tâm tam giác $ABC$
$\Rightarrow HN=\dfrac{CN}{3}=\dfrac{2a}{3};\dfrac{AH}{AK}=\dfrac{2}{3}.$
Mà $G$ là trọng tâm tam giác $SBC$ nên $\dfrac{SG}{SK}=\dfrac{2}{3}.$
Do đó $\dfrac{SG}{SK}=\dfrac{AH}{AK}\Rightarrow GH//SA\Rightarrow \dfrac{GH}{SA}=\dfrac{HK}{AK}=\dfrac{1}{3}.$
Có $AM=\dfrac{2}{3}SA=2a\Rightarrow \dfrac{GH}{AM}=\dfrac{GH}{\dfrac{2}{3}SA}=\dfrac{1}{2}.$
Gọi $MG\cap AK=I.$
Xét tam giác vuông $MAI$ có $MA//GH\Rightarrow \dfrac{IH}{AI}=\dfrac{GH}{AM}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow H$ là trung điểm của $AI.$
Mà $N$ là trung điểm của $AB$ nên $HN$ là đường trung bình của tam giác $ABI.$
$\Rightarrow BI//HN$ và $BI=2HN=2.\dfrac{1}{3}CN=\dfrac{2}{3}AD=\dfrac{4a}{3}.$
Gọi $J$ là trung điểm của $AN\Rightarrow d\left( E;BI \right)=d\left( J;BI \right)=JB=3a.$
Mà ${{S}_{AEBI}}={{S}_{ABE}}+{{S}_{EBI}}=\dfrac{1}{2}d\left( E;AB \right).AB+\dfrac{1}{2}d\left( E;BI \right).BI$
$=\dfrac{1}{2}.2a.4a+\dfrac{1}{2}.3a.\dfrac{4a}{3}=6{{a}^{2}}$
Có ${{V}_{M.AEBI}}=\dfrac{1}{3}MA.{{S}_{AEBI}}=\dfrac{1}{3}.3a.6{{a}^{2}}=4{{a}^{3}},{{V}_{G.BEI}}=\dfrac{1}{3}.GH.{{S}_{BEI}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}2a.\dfrac{1}{2}.3a.\dfrac{4a}{3}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}.$
Vậy ${{V}_{M.GABE}}={{V}_{M.AEBI}}-{{V}_{G.BEI}}=\dfrac{10{{a}^{3}}}{3}.$
Gọi $N,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ và $AK\cap CN=H.$
Khi đó $H$ là trọng tâm tam giác $ABC$
$\Rightarrow HN=\dfrac{CN}{3}=\dfrac{2a}{3};\dfrac{AH}{AK}=\dfrac{2}{3}.$
Mà $G$ là trọng tâm tam giác $SBC$ nên $\dfrac{SG}{SK}=\dfrac{2}{3}.$
Do đó $\dfrac{SG}{SK}=\dfrac{AH}{AK}\Rightarrow GH//SA\Rightarrow \dfrac{GH}{SA}=\dfrac{HK}{AK}=\dfrac{1}{3}.$
Có $AM=\dfrac{2}{3}SA=2a\Rightarrow \dfrac{GH}{AM}=\dfrac{GH}{\dfrac{2}{3}SA}=\dfrac{1}{2}.$
Gọi $MG\cap AK=I.$
Xét tam giác vuông $MAI$ có $MA//GH\Rightarrow \dfrac{IH}{AI}=\dfrac{GH}{AM}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow H$ là trung điểm của $AI.$
Mà $N$ là trung điểm của $AB$ nên $HN$ là đường trung bình của tam giác $ABI.$
$\Rightarrow BI//HN$ và $BI=2HN=2.\dfrac{1}{3}CN=\dfrac{2}{3}AD=\dfrac{4a}{3}.$
Gọi $J$ là trung điểm của $AN\Rightarrow d\left( E;BI \right)=d\left( J;BI \right)=JB=3a.$
Mà ${{S}_{AEBI}}={{S}_{ABE}}+{{S}_{EBI}}=\dfrac{1}{2}d\left( E;AB \right).AB+\dfrac{1}{2}d\left( E;BI \right).BI$
$=\dfrac{1}{2}.2a.4a+\dfrac{1}{2}.3a.\dfrac{4a}{3}=6{{a}^{2}}$
Có ${{V}_{M.AEBI}}=\dfrac{1}{3}MA.{{S}_{AEBI}}=\dfrac{1}{3}.3a.6{{a}^{2}}=4{{a}^{3}},{{V}_{G.BEI}}=\dfrac{1}{3}.GH.{{S}_{BEI}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}2a.\dfrac{1}{2}.3a.\dfrac{4a}{3}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}.$
Vậy ${{V}_{M.GABE}}={{V}_{M.AEBI}}-{{V}_{G.BEI}}=\dfrac{10{{a}^{3}}}{3}.$
Đáp án D.