Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ với $AB=BC=1,AD=2.$ Cạnh bên $SA=1$ và $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $E$ là...

Phương pháp:
- Gọi $H,G,F$ lần lượt là trung điểm của $AB,SC,SE$ và $M=AC\cap BD.$ Chứng minh $\left( AFGH \right)$ là mặt phẳng trung trực của $SE$.
- Xác định trục $d$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDE$.
- Gọi $O=d\cap \left( AFGH \right)\Rightarrow O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.CDE$.
- Tính toán bán kính $R=OC.$
- Diện tích mặt cầu bán kính $R$ là ${{S}_{mc}}=4\pi {{R}^{2}}.$
Cách giải:

Gọi $H,G,F$ lần lượt là trung điểm của $AB,SC,SE$ và $M=AC\cap BD.$
Dễ thấy $AFGH$ là hình bình hành.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AF\bot SE\left( SA=AE \right) \\
& GF\bot SE\left( GF//AB//CE,AB\bot SE \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SE\bot \left( AFGH \right).$
Khi đó $\left( AFGH \right)$ là mặt phẳng trung trực của $SE.$
Theo bài ra ta có: $ABCE$ là hình vuông $\Rightarrow CE\bot AD\Rightarrow \Delta CED$ vuông tại $E.$
Gọi $I$ là trung điểm của $CD\Rightarrow I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDE$.
Qua $I$ kẻ đường thẳng $d//SA\Rightarrow d$ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDE$.
Ta gọi $O=GH\cap d\Rightarrow O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.CDE,$ bán kính $R=OC.$
Ta có $IC=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
$\Delta OIH\backsim \Delta GMH\Rightarrow \dfrac{GM}{MH}=\dfrac{OI}{IH}\Rightarrow OI=\dfrac{3}{2}.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác $OIC$ ta có $R=OC=\dfrac{\sqrt{11}}{2}.$
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.CED$ là: ${{S}_{mc}}=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .{{\left( \dfrac{\sqrt{11}}{2} \right)}^{2}}=11\pi .$