Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a\sqrt{2},AD=a,$ cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a.$ Số đo góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$ bằng:
A. 300
B. 900
C. 600
D. 450
A. 300
B. 900
C. 600
D. 450
Cách giải:
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow SB $ là hình chiếu vuông góc của $ SC $ lên $ \left( SAB \right).$
$\Rightarrow \angle \left( SC;\left( SAB \right) \right)=\angle \left( SC;SB \right)=\angle BSC.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SAB$ ta có $SB=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}.$
Xét tam giác vuông $SBC$ ta có $\tan \angle BSC=\dfrac{BC}{SB}=\dfrac{a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \angle BSC={{30}^{0}}.$
Vậy $\angle \left( SC;\left( SAB \right) \right)={{30}^{0}}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow SB $ là hình chiếu vuông góc của $ SC $ lên $ \left( SAB \right).$
$\Rightarrow \angle \left( SC;\left( SAB \right) \right)=\angle \left( SC;SB \right)=\angle BSC.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SAB$ ta có $SB=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}.$
Xét tam giác vuông $SBC$ ta có $\tan \angle BSC=\dfrac{BC}{SB}=\dfrac{a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \angle BSC={{30}^{0}}.$
Vậy $\angle \left( SC;\left( SAB \right) \right)={{30}^{0}}.$
Đáp án A.