Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a,AD=2a\sqrt{3}.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, biết tam giác $SAD$ có diện tích $S=3{{a}^{2}}.$ Tính khoảng cách từ $C$ đến $\left( SBD \right)$ bằng
A. $d=\dfrac{a\sqrt{39}}{13}$
B. $d=\dfrac{2a\sqrt{51}}{17}$
C. $d=\dfrac{a\sqrt{39}}{5}$
D. $d=\dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$
A. $d=\dfrac{a\sqrt{39}}{13}$
B. $d=\dfrac{2a\sqrt{51}}{17}$
C. $d=\dfrac{a\sqrt{39}}{5}$
D. $d=\dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$
Cách giải:
Ta có ${{S}_{SAD}}=\dfrac{1}{2}SA.AD\Rightarrow 3{{a}^{2}}=\dfrac{1}{2}SA.2a\sqrt{3}\Rightarrow SA=a\sqrt{3}$
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$
Nên $O$ là giao điểm của $AC$ và mặt phẳng $\left( SBD \right)$
$\Rightarrow \dfrac{d\left( C;\left( SBD \right) \right)}{d\left( A;\left( SBD \right) \right)}=\dfrac{CO}{AO}=1\Leftrightarrow d\left( C;\left( SBD \right) \right)=d\left( A;\left( SBD \right) \right)$
Kẻ $AK\bot BD\Rightarrow SK\bot BD\Rightarrow BD\bot \left( SAK \right)$
Kẻ $AH\bot SK;BD\bot \left( SAK \right)\Rightarrow BD\bot AH$
Do đó $AH\bot \left( SBD \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SBD \right) \right)=AH$
Xét tam giác $SAK$ vuông tại $A$ có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}$
Mà tam giác $ABD$ vuông tại $A$ nên ta có $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}$
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{17}{12{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow AH=\dfrac{2a\sqrt{51}}{17}\Rightarrow d\left( C;\left( SBD \right) \right)=d\left( A;\left( SBD \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{51}}{17}$
Ta có ${{S}_{SAD}}=\dfrac{1}{2}SA.AD\Rightarrow 3{{a}^{2}}=\dfrac{1}{2}SA.2a\sqrt{3}\Rightarrow SA=a\sqrt{3}$
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$
Nên $O$ là giao điểm của $AC$ và mặt phẳng $\left( SBD \right)$
$\Rightarrow \dfrac{d\left( C;\left( SBD \right) \right)}{d\left( A;\left( SBD \right) \right)}=\dfrac{CO}{AO}=1\Leftrightarrow d\left( C;\left( SBD \right) \right)=d\left( A;\left( SBD \right) \right)$
Kẻ $AK\bot BD\Rightarrow SK\bot BD\Rightarrow BD\bot \left( SAK \right)$
Kẻ $AH\bot SK;BD\bot \left( SAK \right)\Rightarrow BD\bot AH$
Do đó $AH\bot \left( SBD \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SBD \right) \right)=AH$
Xét tam giác $SAK$ vuông tại $A$ có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}$
Mà tam giác $ABD$ vuông tại $A$ nên ta có $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}$
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{17}{12{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow AH=\dfrac{2a\sqrt{51}}{17}\Rightarrow d\left( C;\left( SBD \right) \right)=d\left( A;\left( SBD \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{51}}{17}$
Đáp án B.