Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a\sqrt{3},SA=SB=SC=SD=2a$. Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng:
A. $\dfrac{13}{12}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{13\sqrt{2}}{12}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{13\sqrt{6}}{12}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{13\sqrt{3}}{12}{{a}^{3}}$.
Gọi $AD=x\left( x>0 \right)$.
Ta có $AC=\sqrt{{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}}$
Khi đó
$SH=\sqrt{4{{a}^{2}}-\dfrac{{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}}{4}}=\sqrt{\dfrac{13}{4}{{a}^{2}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}$.
Thể tích khối chóp $V=\dfrac{1}{3}B.h=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}x.\sqrt{\dfrac{13}{4}{{a}^{2}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}.\dfrac{x}{2}.\sqrt{\dfrac{13{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}.$
Đặt $f\left( x \right)=\dfrac{x}{2}.\sqrt{\dfrac{13{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}\le \dfrac{\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{13{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}{2}=\dfrac{13{{a}^{2}}}{8}$
Thể tích lớn nhất của khối chóp $V=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}.\dfrac{13{{a}^{2}}}{8}=\dfrac{13\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}.$
A. $\dfrac{13}{12}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{13\sqrt{2}}{12}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{13\sqrt{6}}{12}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{13\sqrt{3}}{12}{{a}^{3}}$.
Ta có $AC=\sqrt{{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}}$
Khi đó
$SH=\sqrt{4{{a}^{2}}-\dfrac{{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}}{4}}=\sqrt{\dfrac{13}{4}{{a}^{2}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}$.
Thể tích khối chóp $V=\dfrac{1}{3}B.h=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}x.\sqrt{\dfrac{13}{4}{{a}^{2}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}.\dfrac{x}{2}.\sqrt{\dfrac{13{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}.$
Đặt $f\left( x \right)=\dfrac{x}{2}.\sqrt{\dfrac{13{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}\le \dfrac{\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{13{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}{2}=\dfrac{13{{a}^{2}}}{8}$
Thể tích lớn nhất của khối chóp $V=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}.\dfrac{13{{a}^{2}}}{8}=\dfrac{13\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}.$
Đáp án D.