Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a,AD=a\sqrt{3}$. Mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Côsin của góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng
A. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
B. $\dfrac{\sqrt{13}}{4}$.
C. $\dfrac{1}{4}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$.
Vì $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy nên $SH\bot \left( ABCD \right)$ $\Rightarrow SH\bot BC$.
Mà $ABCD$ là hình chữ nhật $\Rightarrow BC\bot AB$ nên $BC\bot \left( SAB \right)$.
Ta có $BC\subset \left( SBC \right)\Rightarrow \left( SBC \right)\bot \left( SAB \right)$ theo giao tuyến $SB$.
Kẻ $AK\bot SB\Rightarrow AK\bot \left( SBC \right)$.
Do đó kẻ $DI\bot \left( SBC \right)$ $\Rightarrow DI \text{//} AK$ và $DI=AK$ đồng thời có $\widehat{\left( SD,\left( SBC \right) \right)}=\widehat{DSI}$.
Tam giác $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$, có $AK,SH$ là trung tuyến đồng thời là đường cao nên $SH=AK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow DI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=a,AD=a\sqrt{3}$, $H$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow HD=\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}$ $\Rightarrow SD=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{D}^{2}}}=2a$.
Xét tam giác $SDI$ là tam giác vuông tại $I$ có $DI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, $SD=2a$
$\Rightarrow \sin \widehat{DSI}=\dfrac{DI}{SD}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \cos \widehat{DSI}=\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\widehat{DSI}}=\dfrac{\sqrt{13}}{4}$.
Vậy côsin của góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng $\dfrac{\sqrt{13}}{4}$.
A. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
B. $\dfrac{\sqrt{13}}{4}$.
C. $\dfrac{1}{4}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$.
Vì $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy nên $SH\bot \left( ABCD \right)$ $\Rightarrow SH\bot BC$.
Mà $ABCD$ là hình chữ nhật $\Rightarrow BC\bot AB$ nên $BC\bot \left( SAB \right)$.
Ta có $BC\subset \left( SBC \right)\Rightarrow \left( SBC \right)\bot \left( SAB \right)$ theo giao tuyến $SB$.
Kẻ $AK\bot SB\Rightarrow AK\bot \left( SBC \right)$.
Do đó kẻ $DI\bot \left( SBC \right)$ $\Rightarrow DI \text{//} AK$ và $DI=AK$ đồng thời có $\widehat{\left( SD,\left( SBC \right) \right)}=\widehat{DSI}$.
Tam giác $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$, có $AK,SH$ là trung tuyến đồng thời là đường cao nên $SH=AK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow DI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=a,AD=a\sqrt{3}$, $H$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow HD=\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}$ $\Rightarrow SD=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{D}^{2}}}=2a$.
Xét tam giác $SDI$ là tam giác vuông tại $I$ có $DI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, $SD=2a$
$\Rightarrow \sin \widehat{DSI}=\dfrac{DI}{SD}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \cos \widehat{DSI}=\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\widehat{DSI}}=\dfrac{\sqrt{13}}{4}$.
Vậy côsin của góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng $\dfrac{\sqrt{13}}{4}$.
Đáp án B.