Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a,BC=a\sqrt{3}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và đường thẳng $SC$ tạo với mặt phẳng $\left( SAB \right)$ một góc ${{30}^{0}}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là
A. $\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}$.
Vì $SA\bot \left( ABCD \right)$ $\Rightarrow SA\bot BC$ ( 1)
Vì $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow AB\bot BC$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ $BC\bot \left( SAB \right)$ $\Rightarrow SB$ là hình chiếu của $SC$ trên $\left( SAB \right)$.
$\Rightarrow \left( \widehat{SC,\left( SAB \right)} \right)=\left( \widehat{SC,SB} \right)$
Vì $BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB\Rightarrow \vartriangle SBC$ vuông tại $B$ $\Rightarrow \left( \widehat{SC,SB} \right)=\widehat{BSC}=30{}^\circ $.
Ta có $\tan \widehat{BSC}=\dfrac{BC}{SB}\Rightarrow SB=\dfrac{BC}{\tan 30{}^\circ }=3a$.
Xét tam giác vuông $SAB$ có $S{{A}^{2}}=S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}=9{{a}^{2}}-{{a}^{2}}=8{{a}^{2}}\Rightarrow SA=2a\sqrt{2}$.
Ta có ${{S}_{ABCD}}=AB.BC=\sqrt{3}{{a}^{2}}$.
Suy ra ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.2a\sqrt{2}.{{a}^{2}}\sqrt{3}=\dfrac{2\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}$.
A. $\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}$.
Vì $SA\bot \left( ABCD \right)$ $\Rightarrow SA\bot BC$ ( 1)
Vì $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow AB\bot BC$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ $BC\bot \left( SAB \right)$ $\Rightarrow SB$ là hình chiếu của $SC$ trên $\left( SAB \right)$.
$\Rightarrow \left( \widehat{SC,\left( SAB \right)} \right)=\left( \widehat{SC,SB} \right)$
Vì $BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB\Rightarrow \vartriangle SBC$ vuông tại $B$ $\Rightarrow \left( \widehat{SC,SB} \right)=\widehat{BSC}=30{}^\circ $.
Ta có $\tan \widehat{BSC}=\dfrac{BC}{SB}\Rightarrow SB=\dfrac{BC}{\tan 30{}^\circ }=3a$.
Xét tam giác vuông $SAB$ có $S{{A}^{2}}=S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}=9{{a}^{2}}-{{a}^{2}}=8{{a}^{2}}\Rightarrow SA=2a\sqrt{2}$.
Ta có ${{S}_{ABCD}}=AB.BC=\sqrt{3}{{a}^{2}}$.
Suy ra ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.2a\sqrt{2}.{{a}^{2}}\sqrt{3}=\dfrac{2\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án D.