Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với cạnh $AD=2CD.$ Biết hai mặt $\left( SAC \right),\left( SBD \right)$ cùng vuông góc với mặt đáy và đoạn $BD=6;$ góc giữa $\left( SCD \right)$ và mặt đáy bằng ${{60}^{0}}.$ Hai điểm $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB.$ Thể tích khối đa diện $ABCDMN$ bằng
A. $\dfrac{128\sqrt{15}}{15}$.
B. $\dfrac{16\sqrt{15}}{15}$.
C. $\dfrac{18\sqrt{15}}{5}$.
D. $\dfrac{108\sqrt{15}}{25}$.
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD;E$ là trung điểm của $CD$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SBD \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)=SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right).$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& OE\bot CD \\
& SO\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SOE \right)\Rightarrow \left( \widehat{\left( SCD \right);\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SEO}={{60}^{0}}$
Đặt $AD=2CD=2x$
$B{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}=5{{x}^{2}}\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}=36\Rightarrow x=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$
$\Rightarrow AD=\dfrac{12\sqrt{5}}{5};CD=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=\dfrac{72}{5}$
$OE=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$
Trong tam giác vuông $SOE$ có $SO=OE.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{6\sqrt{15}}{5}.$
$\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{144\sqrt{15}}{25}$
${{V}_{S.MNCD}}={{V}_{S.MCD}}+{{V}_{S.MNC}}$
$\dfrac{{{V}_{S.MCD}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{1}{2};\dfrac{{{V}_{S.MNC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}=\dfrac{1}{4}$
$\Rightarrow {{V}_{S.MNCD}}=\dfrac{3}{4}.{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{3}{8}.{{V}_{S.ABCD}}$
${{V}_{ABCDMN}}={{V}_{S.ABCD}}-{{V}_{S.MNCD}}=\dfrac{5}{8}.{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{18\sqrt{15}}{5}.$
A. $\dfrac{128\sqrt{15}}{15}$.
B. $\dfrac{16\sqrt{15}}{15}$.
C. $\dfrac{18\sqrt{15}}{5}$.
D. $\dfrac{108\sqrt{15}}{25}$.
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD;E$ là trung điểm của $CD$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SBD \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)=SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right).$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& OE\bot CD \\
& SO\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SOE \right)\Rightarrow \left( \widehat{\left( SCD \right);\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SEO}={{60}^{0}}$
Đặt $AD=2CD=2x$
$B{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}=5{{x}^{2}}\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}=36\Rightarrow x=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$
$\Rightarrow AD=\dfrac{12\sqrt{5}}{5};CD=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=\dfrac{72}{5}$
$OE=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$
Trong tam giác vuông $SOE$ có $SO=OE.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{6\sqrt{15}}{5}.$
$\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{144\sqrt{15}}{25}$
${{V}_{S.MNCD}}={{V}_{S.MCD}}+{{V}_{S.MNC}}$
$\dfrac{{{V}_{S.MCD}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{1}{2};\dfrac{{{V}_{S.MNC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}=\dfrac{1}{4}$
$\Rightarrow {{V}_{S.MNCD}}=\dfrac{3}{4}.{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{3}{8}.{{V}_{S.ABCD}}$
${{V}_{ABCDMN}}={{V}_{S.ABCD}}-{{V}_{S.MNCD}}=\dfrac{5}{8}.{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{18\sqrt{15}}{5}.$
Đáp án C.