Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a\sqrt{3},BC=a,$ các cạnh bên của hình chóp bằng $a\sqrt{5}.$ Gọi $M$ là trung điểm $SC.$ Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( ABCD \right)$.
A. $a$
B. $a\sqrt{3}$
C. $a\sqrt{2}$
D. $2a$
A. $a$
B. $a\sqrt{3}$
C. $a\sqrt{2}$
D. $2a$
Phương pháp:
- Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$
- Gọi $H$ là trung điểm của $OC,$ chứng minh $MH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow d\left( M;\left( ABCD \right) \right)=MH.$
- Sử dụng định lí Pytago và tính chất đường trung bình của tam giác để tính khoảng cách.
Cách giải:
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$
Gọi $H$ là trung điểm của $OC\Rightarrow MH//SH$ ( $MH$ là đường trung bình của $\Delta SOC$ ).
$MH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow d\left( M;\left( ABCD \right) \right)=MH$
Ta có: $AC=\sqrt{A{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=2a\Rightarrow OC=a.$
$\Rightarrow SO=\sqrt{S{{C}^{2}}-O{{C}^{2}}}=\sqrt{5{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=2a.$
$\Rightarrow MH=\dfrac{1}{2}SO=a.$
Vậy $d\left( M;\left( ABCD \right) \right)=a.$
- Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$
- Gọi $H$ là trung điểm của $OC,$ chứng minh $MH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow d\left( M;\left( ABCD \right) \right)=MH.$
- Sử dụng định lí Pytago và tính chất đường trung bình của tam giác để tính khoảng cách.
Cách giải:
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$
Gọi $H$ là trung điểm của $OC\Rightarrow MH//SH$ ( $MH$ là đường trung bình của $\Delta SOC$ ).
$MH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow d\left( M;\left( ABCD \right) \right)=MH$
Ta có: $AC=\sqrt{A{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=2a\Rightarrow OC=a.$
$\Rightarrow SO=\sqrt{S{{C}^{2}}-O{{C}^{2}}}=\sqrt{5{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=2a.$
$\Rightarrow MH=\dfrac{1}{2}SO=a.$
Vậy $d\left( M;\left( ABCD \right) \right)=a.$
Đáp án A.