Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=2a$, $BC=a\sqrt{3}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và đường thẳng $SC$ tạo với mặt phẳng $\left( SAB \right)$ một góc $30{}^\circ $. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.
A. $V=\dfrac{\sqrt{15}{{a}^{3}}}{3}$.
B. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
C. $V=2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
D. $V=\dfrac{2\sqrt{15}{{a}^{3}}}{3}$.
$SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot BC,$ mà $BC\bot AB$ (hình chữ nhật $ABCD)\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)$
$\Rightarrow B$ là hình chiếu của $C$ trên mặt phẳng $\left( SAB \right)\Rightarrow \widehat{BSC}=\left( SC,\left( SAB \right) \right)={{30}^{0}}$
$\Delta BSC$ vuông tại $B,$ ta có: $SB=BC.\cot \widehat{BSC}=a\sqrt{3}.\cot {{30}^{0}}=3a$
$\Delta SAB$ vuông tai $A,$ ta có: $SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{9{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=\sqrt{5{{a}^{2}}}=a\sqrt{5}$
Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là $AB.BC=2a.a\sqrt{3}=2{{a}^{2}}\sqrt{3}$
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{5}.2{{a}^{2}}\sqrt{3}=\dfrac{2\sqrt{15}{{a}^{3}}}{3}.$
A. $V=\dfrac{\sqrt{15}{{a}^{3}}}{3}$.
B. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
C. $V=2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
D. $V=\dfrac{2\sqrt{15}{{a}^{3}}}{3}$.
$SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot BC,$ mà $BC\bot AB$ (hình chữ nhật $ABCD)\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)$
$\Rightarrow B$ là hình chiếu của $C$ trên mặt phẳng $\left( SAB \right)\Rightarrow \widehat{BSC}=\left( SC,\left( SAB \right) \right)={{30}^{0}}$
$\Delta BSC$ vuông tại $B,$ ta có: $SB=BC.\cot \widehat{BSC}=a\sqrt{3}.\cot {{30}^{0}}=3a$
$\Delta SAB$ vuông tai $A,$ ta có: $SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{9{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=\sqrt{5{{a}^{2}}}=a\sqrt{5}$
Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là $AB.BC=2a.a\sqrt{3}=2{{a}^{2}}\sqrt{3}$
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{5}.2{{a}^{2}}\sqrt{3}=\dfrac{2\sqrt{15}{{a}^{3}}}{3}.$
Đáp án D.