Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật tâm $O$ ...

The Collectors · 13/3/22

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình chữ nhật tâm

O

. Biết

A B = a,

B C = 2 a,

S O ⊥ (A B C D), S O = \frac{3 a}{2}

. Gọi

M, N

lần lượt là trung điểm của

B C, S D

. Mặt phẳng

(A M N)

cắt

S C

tại

E

. Thể tích

V

của khối đa diện lồi

S A B E N

bằng
A.

\frac{a^{3}}{2}

.
B.

\frac{a^{3}}{3}

.
C.

\frac{5 a^{3}}{12}

.
D.

\frac{7 a^{3}}{12}

.

Trong

(A B C D)

, kẻ

A M \cap C D = P \Rightarrow P \in (A M N) \cap (S C D)

, mà

N \in (A M N) ⋂ (S C D)

\Rightarrow (A M N) \cap (S C D) = N P

.
Trong

(S C D) : N P \cap S C = E \Rightarrow E = S C \cap (A M N)

.
Xét

(A B C D)

có

A B // C D \Rightarrow \frac{A B}{C P} = \frac{M B}{M C} = 1 \Rightarrow C P = A B = C D

.
Xét tam giác

S C D

có đường thẳng

N E

lần lượt cắt các cạnh

S C, S D, C D

tại

E, N, P

nên ta có

\frac{E S}{E C} . \frac{P C}{P D} . \frac{N D}{N S} = 1 \Leftrightarrow \frac{E S}{E C} . \frac{1}{2} . \frac{1}{1} = 1 \Leftrightarrow E S = 2 E C \Leftrightarrow \frac{S E}{S C} = \frac{2}{3}

.
Ta có:

\frac{V_{S . A B E}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A}{S A} . \frac{S B}{S B} . \frac{S E}{S C} = \frac{2}{3} \Rightarrow V_{S . A B E} = \frac{2}{3} V_{S . A B C} = \frac{2}{6} V_{S . A B C D}

.

(1)

\frac{V_{S . A N E}}{V_{S . A D C}} = \frac{S A}{S A} . \frac{S N}{S D} . \frac{S E}{S C} = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow V_{S . A N E} = \frac{1}{3} V_{S . A D C} = \frac{1}{6} V_{S . A B C D}

.

(2)

Từ

(1), (2)

suy ra

V_{S . A B E N} = \frac{1}{2} V_{S . A B C D} = \frac{1}{2} . \frac{1}{3} A B . B C . S O = \frac{1}{6} a .2 a . \frac{3 a}{2} = \frac{a^{3}}{2}

.

Đáp án A.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O...