Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$. Biết $AB=a, $ $BC=2a, $ $SO\bot \left( ABCD \right), SO=\dfrac{3a}{2}$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BC, SD$. Mặt phẳng $\left( AMN \right)$ cắt $SC$ tại $E$. Thể tích $V$ của khối đa diện lồi $SABEN$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{5{{a}^{3}}}{12}$.
D. $\dfrac{7{{a}^{3}}}{12}$.
Trong $\left( ABCD \right)$, kẻ $AM\cap CD=P\Rightarrow P\in \left( AMN \right)\cap \left( SCD \right)$, mà $N\in \left( AMN \right)\bigcap \left( SCD \right)$
$\Rightarrow \left( AMN \right)\cap \left( SCD \right)=NP$.
Trong $\left( SCD \right):NP\cap SC=E\Rightarrow E=SC\cap \left( AMN \right)$.
Xét $\left( ABCD \right)$ có $AB\text{//}CD\Rightarrow \dfrac{AB}{CP}=\dfrac{MB}{MC}=1\Rightarrow CP=AB=CD$.
Xét tam giác $SCD$ có đường thẳng $NE$ lần lượt cắt các cạnh $SC, SD, CD$ tại $E, N, P$ nên ta có
$\dfrac{ES}{EC}.\dfrac{PC}{PD}.\dfrac{ND}{NS}=1\Leftrightarrow \dfrac{ES}{EC}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{1}=1\Leftrightarrow ES=2EC\Leftrightarrow \dfrac{SE}{SC}=\dfrac{2}{3}$.
Ta có:
$\dfrac{{{V}_{S.ABE}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SB}{SB}.\dfrac{SE}{SC}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{V}_{S.ABE}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{2}{6}{{V}_{S.ABCD}}$. $\left( 1 \right)$
$\dfrac{{{V}_{S.ANE}}}{{{V}_{S.ADC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SN}{SD}.\dfrac{SE}{SC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{V}_{S.ANE}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{S.ADC}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{S.ABCD}}$. $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right), \left( 2 \right)$ suy ra ${{V}_{S.ABEN}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}AB.BC.SO=\dfrac{1}{6}a.2a.\dfrac{3a}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{5{{a}^{3}}}{12}$.
D. $\dfrac{7{{a}^{3}}}{12}$.
$\Rightarrow \left( AMN \right)\cap \left( SCD \right)=NP$.
Trong $\left( SCD \right):NP\cap SC=E\Rightarrow E=SC\cap \left( AMN \right)$.
Xét $\left( ABCD \right)$ có $AB\text{//}CD\Rightarrow \dfrac{AB}{CP}=\dfrac{MB}{MC}=1\Rightarrow CP=AB=CD$.
Xét tam giác $SCD$ có đường thẳng $NE$ lần lượt cắt các cạnh $SC, SD, CD$ tại $E, N, P$ nên ta có
$\dfrac{ES}{EC}.\dfrac{PC}{PD}.\dfrac{ND}{NS}=1\Leftrightarrow \dfrac{ES}{EC}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{1}=1\Leftrightarrow ES=2EC\Leftrightarrow \dfrac{SE}{SC}=\dfrac{2}{3}$.
Ta có:
$\dfrac{{{V}_{S.ABE}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SB}{SB}.\dfrac{SE}{SC}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{V}_{S.ABE}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{2}{6}{{V}_{S.ABCD}}$. $\left( 1 \right)$
$\dfrac{{{V}_{S.ANE}}}{{{V}_{S.ADC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SN}{SD}.\dfrac{SE}{SC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{V}_{S.ANE}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{S.ADC}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{S.ABCD}}$. $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right), \left( 2 \right)$ suy ra ${{V}_{S.ABEN}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}AB.BC.SO=\dfrac{1}{6}a.2a.\dfrac{3a}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
Đáp án A.