Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, tam giác $SAD$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết...

Trong $\left( SAD \right),$ vẽ $SH\bot AD$ với $H\in AD$.
Trong $\left( ABCD \right),$ vẽ $HE\bot BC$ với $E\in BC.$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAD \right)\cap \left( ABCD \right)=AD \\
& SH\subset \left( SAD \right).SH\bot AD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right) $ tại $ H.$
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot HE \\
& BC\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SHE \right)\Rightarrow BC\bot SE.$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABCD \right)=BC \\
& SE\subset \left( SBC \right),SE\bot BC \\
& HE\subset \left( ABCD \right),HE\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \widehat{\left( SBC \right),\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SE,HE} \right)=\widehat{SEH}={{60}^{0}}$
$\Delta SHE$ vuông tại $H$ có $\widehat{SEH}={{60}^{0}},HE=AB=a.$
Suy ra $SH=HE.\tan \widehat{SEH}=a.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}.$
Đặt $SD=x,$ suy ra $SA=2x.$
$\Delta SAD$ vuông tại $S$ có $SD=x,SA=2x,$ đường cao $SH=a\sqrt{3}.$
Do đó $\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{D}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{15}{4}{{a}^{2}}.$
Mặt khác $AD=\dfrac{SA.SD}{SH}=\dfrac{2{{x}^{2}}}{a\sqrt{3}}=\dfrac{15{{a}^{2}}}{2}.\dfrac{1}{a\sqrt{3}}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}a.$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SH.AB.AD=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.a.\dfrac{5\sqrt{3}}{2}a=\dfrac{5}{2}{{a}^{3}}.$