Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA=SB=SC=SD,AB=a,AD=2a.$ Góc giữa hai mặt phẳng $\left(SAB\right)$ và $\left(SCD...

Kẻ $d//AB//CD(S\in d)\Rightarrow d=\left(SAB\right)\cap \left(SCD\right).$
Gọi $P,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD.$ Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên:
$d//CD\mathrm{\perp }\left(SOK\right)\Rightarrow d//CD\mathrm{\perp }SK\left(1\right)$.
$d//AB\mathrm{\perp }\left(SOP\right)\Rightarrow d//AB\mathrm{\perp }SP\left(2\right)$.
Từ $\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow SK,SP\mathrm{\perp }d\Rightarrow \widehat{(\left(SAB\right),\left(SCD\right))}=\widehat{(SP,SK)}=\widehat{PSK}={60}^0$.
Xét tam giác $SOK,$ vuông tại $O$, ta có: ${\displaystyle \frac{OK}{SO}}=\tan \widehat{OSK}$.
$\Rightarrow SO={\displaystyle \frac{OK}{\tan \widehat{OSK}}}={\displaystyle \frac{a}{\tan {30}^0}}=a\sqrt{3}$
Xét tam giác $SOD,$ vuông tại $O$, ta có: $SD=\sqrt{S{O}^2+O{D}^2}=\sqrt{3a^2+{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{5}}{2}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{a\sqrt{17}}{2}}.$
Kẻ đường trung trực của $SD,$ cắt $SO$ tại $I,$ khi đó $\mathrm{\Delta }SID$ cân tại $I$.
$\Rightarrow IS=ID=IA=IB=IC=R$.
Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ là $I$, bán kính mặt cầu $R=IS$.
Ta có: $R=IS={\displaystyle \frac{S{D}^2}{2SO}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{17a^2}{4}}}{2.A\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{17a\sqrt{3}}{24}}.$