Cho hình chóp $S. ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA=SB=SC=SD, AB=a, AD=2a.$ Góc giữa hai mặt phẳng $\left(SAB \right)$ và $\left(SCD...

Kẻ $d//AB//CD\left(S\in d \right)\Rightarrow d=\left(SAB \right)\cap \left(SCD \right).$
Gọi $P, K$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD.$ Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên:
$d//CD\bot \left(SOK \right)\Rightarrow d//CD\bot SK\left(1 \right)$.
$d//AB\bot \left(SOP \right)\Rightarrow d//AB\bot SP\left(2 \right)$.
Từ $\left(1 \right),\left(2 \right)\Rightarrow SK, SP\bot d\Rightarrow \widehat{\left(\left( SAB \right),\left(SCD \right) \right)}=\widehat{\left(SP, SK \right)}=\widehat{PSK}={{60}^{0}}$.
Xét tam giác $SOK,$ vuông tại $O$, ta có: $\dfrac{OK}{SO}=\tan \widehat{OSK}$.
$\Rightarrow SO=\dfrac{OK}{\tan \widehat{OSK}}=\dfrac{a}{\tan {{30}^{0}}}=a\sqrt{3}$
Xét tam giác $SOD,$ vuông tại $O$, ta có: $SD=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{D}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}+{{\left(\dfrac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{17}}{2}.$
Kẻ đường trung trực của $SD,$ cắt $SO$ tại $I,$ khi đó $\Delta SID$ cân tại $I$.
$\Rightarrow IS=ID=IA=IB=IC=R$.
Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S. ABCD$ là $I$, bán kính mặt cầu $R=IS$.
Ta có: $R=IS=\dfrac{S{{D}^{2}}}{2SO}=\dfrac{\dfrac{17{{a}^{2}}}{4}}{2. A\sqrt{3}}=\dfrac{17a\sqrt{3}}{24}.$