Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA\bot \left( ABCD \right),SA=2a,AB=a,BC=2a.$ Côsin của góc giữa $SC$ và $DB$ bằng:
A. $\dfrac{-1}{\sqrt{5}}$
B. $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$
C. $\dfrac{1}{2\sqrt{5}}$
D. $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
A. $\dfrac{-1}{\sqrt{5}}$
B. $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$
C. $\dfrac{1}{2\sqrt{5}}$
D. $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
Phương pháp:
Sử dụng công thức: $\cos \left( a,b \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right|}{a.b}$
Cách giải:
Ta có: $BD=AC=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=a\sqrt{5}$
$SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+5{{a}^{2}}}=3a$
Ta có: $\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{DB}=\left( \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AC} \right).\overrightarrow{DB}=4\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{DO}=4.\dfrac{O{{A}^{2}}+O{{D}^{2}}-A{{D}^{2}}}{2}=2\left( \dfrac{5{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{5{{a}^{2}}}{4}-4{{a}^{2}} \right)=-3{{a}^{2}}$
Lại có: $\cos \left( SC,DB \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{SC}.\overrightarrow{DB} \right|}{SC.DB}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{3a.a\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$
Sử dụng công thức: $\cos \left( a,b \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right|}{a.b}$
Cách giải:
$SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+5{{a}^{2}}}=3a$
Ta có: $\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{DB}=\left( \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AC} \right).\overrightarrow{DB}=4\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{DO}=4.\dfrac{O{{A}^{2}}+O{{D}^{2}}-A{{D}^{2}}}{2}=2\left( \dfrac{5{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{5{{a}^{2}}}{4}-4{{a}^{2}} \right)=-3{{a}^{2}}$
Lại có: $\cos \left( SC,DB \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{SC}.\overrightarrow{DB} \right|}{SC.DB}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{3a.a\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$
Đáp án B.