Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $SA$ biết $A D=a \sqrt{3}, A B=a$. Khi đó khoảng cách từ $C$ đến $\left( MBD \right)$ là:
A. $\dfrac{2 a \sqrt{15}}{10}$.
B. $\dfrac{a \sqrt{39}}{13}$.
C. $\dfrac{2 a \sqrt{39}}{13}$.
D. $\dfrac{a \sqrt{39}}{26}$.
A. $\dfrac{2 a \sqrt{15}}{10}$.
B. $\dfrac{a \sqrt{39}}{13}$.
C. $\dfrac{2 a \sqrt{39}}{13}$.
D. $\dfrac{a \sqrt{39}}{26}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow SH\bot AB$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$ (Vì $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)$ )
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$, suy ra $G$ là là giao điểm của $SH$ và $BM$
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, suy ra $O$ là trung điểm của $AC$ $\Rightarrow d\left( C ; \left( MBD \right) \right)=d\left( A ; \left( MBD \right) \right)$
Từ $H$ kẻ $HI\bot BD$, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot HI \\
& BD\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SHI \right)\Rightarrow \left( MBD \right)\bot \left( SHI \right)$
Từ $H$ kẻ $HK\bot GI$ $\Rightarrow HK\bot \left( MBD \right)$ $\Rightarrow HK=d\left( H;\left( MBD \right) \right)$
Gọi $AJ$ là đường cao trong $\Delta ABD$ $\Rightarrow \dfrac{1}{A{{J}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AJ=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có: $HI=\dfrac{1}{2}AJ=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$ ; $HG=\dfrac{1}{3}HS=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
Xét tam giác vuông $GHI$, có $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{G}^{2}}}=\dfrac{16}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{36}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{52}{3{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{39}}{26}$
Do $H$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow d\left( A;\left( MBD \right) \right)=2d\left( H;\left( MBD \right) \right)=2HK=\dfrac{a\sqrt{39}}{13}$
Vậy $d\left( C ; \left( MBD \right) \right)=d\left( A ; \left( MBD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{39}}{13}$.
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$, suy ra $G$ là là giao điểm của $SH$ và $BM$
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, suy ra $O$ là trung điểm của $AC$ $\Rightarrow d\left( C ; \left( MBD \right) \right)=d\left( A ; \left( MBD \right) \right)$
Từ $H$ kẻ $HI\bot BD$, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot HI \\
& BD\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SHI \right)\Rightarrow \left( MBD \right)\bot \left( SHI \right)$
Từ $H$ kẻ $HK\bot GI$ $\Rightarrow HK\bot \left( MBD \right)$ $\Rightarrow HK=d\left( H;\left( MBD \right) \right)$
Gọi $AJ$ là đường cao trong $\Delta ABD$ $\Rightarrow \dfrac{1}{A{{J}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AJ=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có: $HI=\dfrac{1}{2}AJ=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$ ; $HG=\dfrac{1}{3}HS=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
Xét tam giác vuông $GHI$, có $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{G}^{2}}}=\dfrac{16}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{36}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{52}{3{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{39}}{26}$
Do $H$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow d\left( A;\left( MBD \right) \right)=2d\left( H;\left( MBD \right) \right)=2HK=\dfrac{a\sqrt{39}}{13}$
Vậy $d\left( C ; \left( MBD \right) \right)=d\left( A ; \left( MBD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{39}}{13}$.
Đáp án B.