Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $E$ là điểm trên cạnh $AD$ sao cho $BE$ vuông góc với $AC$ tại $H$ và $AB>AE,$ cạnh $SH$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc $\widehat{BSH}={{45}^{0}}.$ Biết $AH=\dfrac{2a}{\sqrt{5}},BE=a\sqrt{5}.$ Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. $\dfrac{32{{a}^{3}}\sqrt{5}}{15}$
B. $\dfrac{16{{a}^{3}}}{3\sqrt{5}}$
C. $\dfrac{32{{a}^{3}}}{\sqrt{5}}$
D. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{5}}{5}$
A. $\dfrac{32{{a}^{3}}\sqrt{5}}{15}$
B. $\dfrac{16{{a}^{3}}}{3\sqrt{5}}$
C. $\dfrac{32{{a}^{3}}}{\sqrt{5}}$
D. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{5}}{5}$
Cách giải:
Xét tam giác $ABE$ vuông tại $A$ có đường cao $AH:$
$\left\{ \begin{aligned}
& AB.AE=AH.BE \\
& A{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}=B{{E}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AB.AE=2{{a}^{2}} \\
& A{{B}^{2}}+A{{E}^{2}}=5{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AB.AE=2{{a}^{2}} \\
& {{\left( AB+AE \right)}^{2}}-2.AB.AE=5{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AB.AE=2{{a}^{2}} \\
& AB+AE=3a \\
\end{aligned} \right..$
$\Rightarrow $ Độ dài $AB,AE$ là hai nghiệm của phương trình ${{X}^{2}}-3aX+2{{a}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& X=2a \\
& X=a \\
\end{aligned} \right..$
Vì $AB>AE\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AB=2a \\
& AE=a \\
\end{aligned} \right..$
Xét tam giác vuông $AHB$ có: $BH=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-\dfrac{4{{a}^{2}}}{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}a.$
Xét tam giác $SHB$ vuông tại $H$ có: $SH=BH.\cot \angle BSH=\dfrac{4a\sqrt{5}}{5}.$
Xét tam giác vuông $ABC$ có: $\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{C}^{2}}}\Rightarrow BC=4a.$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{4a}{\sqrt{5}}.2a.4a=\dfrac{32{{a}^{3}}\sqrt{5}}{15}.$
Xét tam giác $ABE$ vuông tại $A$ có đường cao $AH:$
$\left\{ \begin{aligned}
& AB.AE=AH.BE \\
& A{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}=B{{E}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AB.AE=2{{a}^{2}} \\
& A{{B}^{2}}+A{{E}^{2}}=5{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AB.AE=2{{a}^{2}} \\
& {{\left( AB+AE \right)}^{2}}-2.AB.AE=5{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AB.AE=2{{a}^{2}} \\
& AB+AE=3a \\
\end{aligned} \right..$
$\Rightarrow $ Độ dài $AB,AE$ là hai nghiệm của phương trình ${{X}^{2}}-3aX+2{{a}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& X=2a \\
& X=a \\
\end{aligned} \right..$
Vì $AB>AE\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AB=2a \\
& AE=a \\
\end{aligned} \right..$
Xét tam giác vuông $AHB$ có: $BH=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-\dfrac{4{{a}^{2}}}{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}a.$
Xét tam giác $SHB$ vuông tại $H$ có: $SH=BH.\cot \angle BSH=\dfrac{4a\sqrt{5}}{5}.$
Xét tam giác vuông $ABC$ có: $\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{C}^{2}}}\Rightarrow BC=4a.$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{4a}{\sqrt{5}}.2a.4a=\dfrac{32{{a}^{3}}\sqrt{5}}{15}.$
Đáp án A.