Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=a;BC=2a.$ Hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và mặt phẳng $\left( SAD \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh $SC$ hợp với mặt đáy góc ${{60}^{0}}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a.$
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{15}}{9}$.
B. $2{{a}^{3}}\sqrt{15}$.
C. $2{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$.
Ta có
$\left. \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAD \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( SAD \right)=SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow SA\bot \left( ABCD \right).$
${{S}_{ABCD}}=AB.BC=a.2a=2{{a}^{2}}.$
Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$ có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=a\sqrt{5}.$
Góc giữa $SC$ tạo với mặt phẳng đáy là $\widehat{SCA}.$
Xét $\Delta SAC$ vuông tại $A$ có: $\tan {{60}^{0}}=\dfrac{SA}{AC}\Leftrightarrow SA=AC.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{5}.\sqrt{3}=a\sqrt{15}.$
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}.2{{a}^{2}}.a\sqrt{15}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}.$
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{15}}{9}$.
B. $2{{a}^{3}}\sqrt{15}$.
C. $2{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$.
Ta có
$\left. \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAD \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( SAD \right)=SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow SA\bot \left( ABCD \right).$
${{S}_{ABCD}}=AB.BC=a.2a=2{{a}^{2}}.$
Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$ có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=a\sqrt{5}.$
Góc giữa $SC$ tạo với mặt phẳng đáy là $\widehat{SCA}.$
Xét $\Delta SAC$ vuông tại $A$ có: $\tan {{60}^{0}}=\dfrac{SA}{AC}\Leftrightarrow SA=AC.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{5}.\sqrt{3}=a\sqrt{15}.$
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}.2{{a}^{2}}.a\sqrt{15}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}.$
Đáp án D.