Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=1.$ Các cạnh bên có độ dài bằng 2 và $SA$ tạo với mặt đáy góc 600. Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( SAC \right)$ bằng:
A. $\dfrac{\sqrt{33}}{6}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D. 1
A. $\dfrac{\sqrt{33}}{6}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D. 1
Cách giải:
Gọi $O=AC\cap BD.$ Vì $SA=SB=SC=SD$ nên $SO\bot \left( ABCD \right).$
Trong $\left( ABCD \right)$ kẻ $BH\bot AC\left( H\in AC \right)$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BH\bot AC \\
& BH\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BH\bot \left( SAC \right).$
$\Rightarrow d\left( B;\left( SAC \right) \right)=BH.$
Ta có $SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow OA$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ lên $\left( ABCD \right).$
$\Rightarrow \angle \left( SA;\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SA;OA \right)=\angle SAO={{60}^{0}}.$
$\Rightarrow \Delta SAC$ đều cạnh $2\Rightarrow AC=2.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $ABC$ ta có $BC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{3}$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $ABC$ ta có $BH=\dfrac{AB.BC}{AC}=\dfrac{1.\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Vậy $d\left( B;\left( SAC \right) \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Gọi $O=AC\cap BD.$ Vì $SA=SB=SC=SD$ nên $SO\bot \left( ABCD \right).$
Trong $\left( ABCD \right)$ kẻ $BH\bot AC\left( H\in AC \right)$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BH\bot AC \\
& BH\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BH\bot \left( SAC \right).$
$\Rightarrow d\left( B;\left( SAC \right) \right)=BH.$
Ta có $SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow OA$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ lên $\left( ABCD \right).$
$\Rightarrow \angle \left( SA;\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SA;OA \right)=\angle SAO={{60}^{0}}.$
$\Rightarrow \Delta SAC$ đều cạnh $2\Rightarrow AC=2.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $ABC$ ta có $BC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{3}$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $ABC$ ta có $BH=\dfrac{AB.BC}{AC}=\dfrac{1.\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Vậy $d\left( B;\left( SAC \right) \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Đáp án C.