Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a, AD=a\sqrt{2}$ $SA\bot \left( ABCD \right)$ và $SA=a$ (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{5}$.
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BD$.
Khi đó: $\left. \begin{aligned}
& AK\bot BD \\
& BD\bot SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BD\bot \left( SAK \right)$.
mà $BD\subset \left( SBD \right)$ suy ra $\left( SBD \right)\bot \left( SAK \right)$
mà $\left( SBD \right)\cap \left( SAK \right)=SK$ nên kẻ $AH\bot SK$ thì $AH\bot \left( SBD \right)$.
Vậy $d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH$
Xét tứ diện vuông $ASBD$ suy ra $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{AS{}^{2}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{2{{a}^{2}}}$.
Suy ra $AH=\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$.
Vậy $d(A,(SBD))=\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{5}$.
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BD$.
Khi đó: $\left. \begin{aligned}
& AK\bot BD \\
& BD\bot SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BD\bot \left( SAK \right)$.
mà $BD\subset \left( SBD \right)$ suy ra $\left( SBD \right)\bot \left( SAK \right)$
mà $\left( SBD \right)\cap \left( SAK \right)=SK$ nên kẻ $AH\bot SK$ thì $AH\bot \left( SBD \right)$.
Vậy $d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH$
Xét tứ diện vuông $ASBD$ suy ra $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{AS{}^{2}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{2{{a}^{2}}}$.
Suy ra $AH=\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$.
Vậy $d(A,(SBD))=\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$.
Đáp án C.