Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a\sqrt{3},BC=a,SA=a\sqrt{3}$ và $SA$ vuông góc với đáy $ABCD.$ Tính $\sin \alpha $ với $\alpha $ là góc tạo bởi đường thẳng $BD$ và mặt phẳng $\left( SBC \right)$.
A. $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{6}}{4}$.
B. $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{10}}{8}$.
C. $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{10}}{4}$.
D. $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Lấy $M,N$ lần lượt là trung điểm $BC,SC$. Dễ thấy $\left( OMN \right)\text{//}\left( SAB \right)$ suy ra $BC\bot \left( OMN \right)$
Kẻ $OH\bot MN$ suy ra $OH\bot \left( SBC \right)$. Do đó $\left( BD,\left( SBC \right) \right)=\left( OB,\left( SBC \right) \right)=\widehat{HBO}\Rightarrow \alpha =\widehat{HBO}$.
Tam giác $OMN$ vuông cân tại $O$ nên $OH=\dfrac{1}{2}MN=\dfrac{1}{2}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.
$OB=\dfrac{1}{2}.BD=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=a$.
Tam giác $OBH$ vuông tại H nên $\sin \widehat{OBH}=\dfrac{OH}{OB}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}:a=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$.
A. $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{6}}{4}$.
B. $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{10}}{8}$.
C. $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{10}}{4}$.
D. $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Lấy $M,N$ lần lượt là trung điểm $BC,SC$. Dễ thấy $\left( OMN \right)\text{//}\left( SAB \right)$ suy ra $BC\bot \left( OMN \right)$
Kẻ $OH\bot MN$ suy ra $OH\bot \left( SBC \right)$. Do đó $\left( BD,\left( SBC \right) \right)=\left( OB,\left( SBC \right) \right)=\widehat{HBO}\Rightarrow \alpha =\widehat{HBO}$.
Tam giác $OMN$ vuông cân tại $O$ nên $OH=\dfrac{1}{2}MN=\dfrac{1}{2}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.
$OB=\dfrac{1}{2}.BD=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=a$.
Tam giác $OBH$ vuông tại H nên $\sin \widehat{OBH}=\dfrac{OH}{OB}=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}:a=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$.
Đáp án A.