Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a,AD=2a.$ Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa...

Phương pháp:
- Đổi $d\left( M;\left( SAC \right) \right)$ sang $d\left( H;\left( SAC \right) \right)$
- Trong $\left( ABCD \right)$ kẻ $HE\bot AC\left( E\in AC \right),$ trong $\left( SHE \right)$ kẻ $HN\bot SE\left( N\in SE \right)$, chứng minh $HN\bot \left( SAC \right)$
- Xác định góc giữa $SC$ và $\left( ABCD \right)$, từ đó tính $SH.$
- Sử dụng ${{S}_{HAC}}=\dfrac{1}{2}HE.AC=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABC}},$ từ đó tính $HE$.
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính $HN.$
Cách giải:

Gọi $H$ là trung điểm $AB.$ Vì $\Delta SAB$ cân tại $S$ nên $SH\bot AB$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB \\
& SH\subset \left( ABCD \right),SH\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
Gọi $K=HD\cap AC.$ Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{DK}{HK}=\dfrac{DC}{AH}=2\Rightarrow DK=2HK.$
Ta có $MD\cap \left( SAC \right)=S\Rightarrow \dfrac{d\left( M;\left( SAC \right) \right)}{d\left( D;\left( SAC \right) \right)}=\dfrac{SM}{SD}=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow d\left( M;\left( SAC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( D;\left( SAC \right) \right)$.
Lại có $DH\cap \left( SAC \right)=K$ nên $\dfrac{d\left( D;\left( SAC \right) \right)}{d\left( H;\left( SAC \right) \right)}=\dfrac{DK}{HK}=2\Rightarrow d\left( D;\left( SAC \right) \right)=2d\left( H;\left( SAC \right) \right)$.
Do đó $d\left( M;\left( SAC \right) \right)=d\left( H;\left( SAC \right) \right)$.
Trong $\left( ABCD \right)$ kẻ $HE\bot AC\left( E\in AC \right)$, trong $\left( SHE \right)$ kẻ $HN\bot SE\left( N\in SE \right)$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot HE \\
& AC\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SHE \right)\Rightarrow AC\bot HN$
$\left\{ \begin{aligned}
& HN\bot SE \\
& HN\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow HN\bot \left( SAC \right)\Rightarrow d\left( H;\left( SAC \right) \right)=HN$
Vì $SH\bot \left( ABCD \right)$ nên $HC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $\left( ABCD \right)$.
$\Rightarrow \angle \left( SC;\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SC;HC \right)=\angle SCH={{45}^{0}}$.
$\Rightarrow \Delta SHC$ vuông tại $H\Rightarrow SH=HC=\sqrt{B{{C}^{2}}+B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{17}}{2}$
Ta có: ${{S}_{HAC}}=\dfrac{1}{2}HE.AC=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABC}}$
$\Rightarrow HE.AC=\dfrac{1}{2}.AB.BC$
$\Rightarrow HE=\dfrac{\dfrac{1}{2}.AB.BC}{AC}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.a.2a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}}}=\dfrac{a}{\sqrt{5}}$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SHE$ ta có:
Nên $HN=\dfrac{SH.HE}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}.\dfrac{a}{\sqrt{5}}}{\sqrt{\dfrac{17{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}}{5}}}=\dfrac{a\sqrt{1513}}{89}$.
Vậy $d\left( M;\left( SAC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{1513}}{89}.$