Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=3a$, $AD=4a$, đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right)$. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên các cạnh $SB$ và $SD$. Biết mặt phẳng $\left( AHK \right)$ tạo với mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right)$ một góc $\alpha $ có số đo $\tan \alpha =2$, tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$.
A. $\dfrac{40{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{10{{a}^{3}}}{3}$.
C. $40{{a}^{3}}$.
D. $10{{a}^{3}}$.
Ta chứng minh được
● $BC\bot \left( SAB \right)$ $\Rightarrow BC\bot AH$ $\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$ $\Rightarrow AH\bot SC$ $\left( 1 \right)$
● Chứng minh tương tự ta được: $AK\bot \left( SCD \right)$ $\Rightarrow AK\bot SC$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow SC\bot \left( AHK \right)$
Mà $SA\bot \left( ABCD \right)$
Nên $\left( \left( AHK \right);\left( ABCD \right) \right)=\left( SA;SC \right)=\widehat{ASC}$ (vì $\Delta SAC$ vuông tại $A$ )
$\Rightarrow \tan \widehat{ASC}=2$ $\Rightarrow SA=\dfrac{1}{2}AC$
● $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=5a$
● $SA=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{5a}{2}$
● $V=\dfrac{1}{3}SA\cdot AB\cdot AD=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{5a}{2}\cdot 3a\cdot 4a=10{{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{40{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{10{{a}^{3}}}{3}$.
C. $40{{a}^{3}}$.
D. $10{{a}^{3}}$.
● $BC\bot \left( SAB \right)$ $\Rightarrow BC\bot AH$ $\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$ $\Rightarrow AH\bot SC$ $\left( 1 \right)$
● Chứng minh tương tự ta được: $AK\bot \left( SCD \right)$ $\Rightarrow AK\bot SC$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow SC\bot \left( AHK \right)$
Mà $SA\bot \left( ABCD \right)$
Nên $\left( \left( AHK \right);\left( ABCD \right) \right)=\left( SA;SC \right)=\widehat{ASC}$ (vì $\Delta SAC$ vuông tại $A$ )
$\Rightarrow \tan \widehat{ASC}=2$ $\Rightarrow SA=\dfrac{1}{2}AC$
● $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=5a$
● $SA=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{5a}{2}$
● $V=\dfrac{1}{3}SA\cdot AB\cdot AD=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{5a}{2}\cdot 3a\cdot 4a=10{{a}^{3}}$.
Đáp án D.