Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $AB=3,BC=4,SA=2$. Tam giác SAC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và có diện tích bằng 4. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng
A. $\dfrac{3\sqrt{17}}{17}$.
B. $\dfrac{5\sqrt{34}}{17}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{34}}{17}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{34}}{34}$.
TH1: $H$ thuộc đoạn thẳng $AC.$
+ Kẻ $SH\bot AC\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$ mặt khác ${{S}_{\Delta SAC}}=\dfrac{1}{2}SH.AC=4\Leftrightarrow SH=\dfrac{8}{5}$
$AH=\dfrac{6}{5};\sin \widehat{SAC}=\dfrac{SH}{SA}=\dfrac{4}{5}.$
+ Kẻ $BK\bot AC\Rightarrow BK\bot \left( SAC \right)$ kẻ $KL\bot SA\Rightarrow SA\bot \left( BKL \right)\Rightarrow \left( \left( SAB \right),\left( SBC \right) \right)=\widehat{BLK}$
Ta có: $\dfrac{1}{B{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{C}^{2}}}\Rightarrow BK=\dfrac{12}{5}$ và $AK=\dfrac{9}{5};KL=AK.\sin \widehat{SAC}=\dfrac{36}{25}$
$BL=\dfrac{12\sqrt{34}}{25};\cos \widehat{BLK}=\dfrac{KL}{BL}=\dfrac{3\sqrt{34}}{34}$
TH2. $H$ không thuộc đoạn thẳng $AC.$
+ Kẻ $SH\bot AC\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$ mặt khác ${{S}_{\Delta SAC}}=\dfrac{1}{2}SH.AC=4\Leftrightarrow SH=\dfrac{8}{5}$
$AH=\dfrac{6}{5};\sin \widehat{SAH}=\dfrac{SH}{SA}=\dfrac{4}{5}.$
+ Kẻ $BK\bot AC\Rightarrow BK\bot \left( SAC \right)$ kẻ $KE\bot SA\Rightarrow \left( \left( SAB \right),\left( SBC \right) \right)=\widehat{BEK}$
Ta có: $\dfrac{1}{B{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{C}^{2}}}\Rightarrow BK=\dfrac{12}{5}$ và $AK=\dfrac{9}{5};KE=AK.\sin \widehat{SAH}=\dfrac{36}{25}$
$BE=\dfrac{12\sqrt{34}}{25};\cos \widehat{BEK}=\dfrac{KL}{BL}=\dfrac{3\sqrt{34}}{34}$
A. $\dfrac{3\sqrt{17}}{17}$.
B. $\dfrac{5\sqrt{34}}{17}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{34}}{17}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{34}}{34}$.
TH1: $H$ thuộc đoạn thẳng $AC.$
+ Kẻ $SH\bot AC\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$ mặt khác ${{S}_{\Delta SAC}}=\dfrac{1}{2}SH.AC=4\Leftrightarrow SH=\dfrac{8}{5}$
$AH=\dfrac{6}{5};\sin \widehat{SAC}=\dfrac{SH}{SA}=\dfrac{4}{5}.$
+ Kẻ $BK\bot AC\Rightarrow BK\bot \left( SAC \right)$ kẻ $KL\bot SA\Rightarrow SA\bot \left( BKL \right)\Rightarrow \left( \left( SAB \right),\left( SBC \right) \right)=\widehat{BLK}$
Ta có: $\dfrac{1}{B{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{C}^{2}}}\Rightarrow BK=\dfrac{12}{5}$ và $AK=\dfrac{9}{5};KL=AK.\sin \widehat{SAC}=\dfrac{36}{25}$
$BL=\dfrac{12\sqrt{34}}{25};\cos \widehat{BLK}=\dfrac{KL}{BL}=\dfrac{3\sqrt{34}}{34}$
TH2. $H$ không thuộc đoạn thẳng $AC.$
+ Kẻ $SH\bot AC\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$ mặt khác ${{S}_{\Delta SAC}}=\dfrac{1}{2}SH.AC=4\Leftrightarrow SH=\dfrac{8}{5}$
$AH=\dfrac{6}{5};\sin \widehat{SAH}=\dfrac{SH}{SA}=\dfrac{4}{5}.$
+ Kẻ $BK\bot AC\Rightarrow BK\bot \left( SAC \right)$ kẻ $KE\bot SA\Rightarrow \left( \left( SAB \right),\left( SBC \right) \right)=\widehat{BEK}$
Ta có: $\dfrac{1}{B{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{C}^{2}}}\Rightarrow BK=\dfrac{12}{5}$ và $AK=\dfrac{9}{5};KE=AK.\sin \widehat{SAH}=\dfrac{36}{25}$
$BE=\dfrac{12\sqrt{34}}{25};\cos \widehat{BEK}=\dfrac{KL}{BL}=\dfrac{3\sqrt{34}}{34}$
Đáp án D.