Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=3,AD=4$ và các cạnh bên của hình chóp tạo với đáy một góc ${{60}^{0}}.$ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A. $V=\dfrac{250\sqrt{3}}{3}\pi .$
B. $V=\dfrac{125\sqrt{3}}{6}\pi .$
C. $V=\dfrac{50\sqrt{3}}{3}\pi .$
D. $V=\dfrac{500\sqrt{3}}{27}\pi .$
Gọi $O=AC\cap BD$ khi đó $SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SO$ là trục đường tròn ngoại tiếp đáy $ABCD$.
Trong mặt phẳng $\left( SAO \right)$ gọi giao của đường trung trực của $SA$ với $SA$ là $E$ và $SO$ là $I$.
Khi đó $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp $S.ABCD$. Do đó bán kính là $R=SI=\dfrac{S{{A}^{2}}}{2SO}\left( 1 \right)$
Do $AO=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{5}{2}$ và $\widehat{SAO}={{60}^{0}}$ nên $SO=\dfrac{5\sqrt{3}}{2};SA=5\Rightarrow R=\dfrac{{{5}^{2}}}{2.\dfrac{5\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{5}{\sqrt{3}}$
Thể tích khối cầu $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi .{{\left( \dfrac{5}{\sqrt{3}} \right)}^{3}}=\dfrac{500\sqrt{3}}{27}\pi .$
A. $V=\dfrac{250\sqrt{3}}{3}\pi .$
B. $V=\dfrac{125\sqrt{3}}{6}\pi .$
C. $V=\dfrac{50\sqrt{3}}{3}\pi .$
D. $V=\dfrac{500\sqrt{3}}{27}\pi .$
Gọi $O=AC\cap BD$ khi đó $SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SO$ là trục đường tròn ngoại tiếp đáy $ABCD$.
Trong mặt phẳng $\left( SAO \right)$ gọi giao của đường trung trực của $SA$ với $SA$ là $E$ và $SO$ là $I$.
Khi đó $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp $S.ABCD$. Do đó bán kính là $R=SI=\dfrac{S{{A}^{2}}}{2SO}\left( 1 \right)$
Do $AO=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{5}{2}$ và $\widehat{SAO}={{60}^{0}}$ nên $SO=\dfrac{5\sqrt{3}}{2};SA=5\Rightarrow R=\dfrac{{{5}^{2}}}{2.\dfrac{5\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{5}{\sqrt{3}}$
Thể tích khối cầu $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi .{{\left( \dfrac{5}{\sqrt{3}} \right)}^{3}}=\dfrac{500\sqrt{3}}{27}\pi .$
Đáp án D.