Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=3,AD=4$ và các cạnh bên của hình chóp tạo với đáy một góc ${60}^0.$ Tính thể tích...

Gọi $O=AC\cap BD$ khi đó $SO\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)\Rightarrow SO$ là trục đường tròn ngoại tiếp đáy $ABCD$.
Trong mặt phẳng $\left(SAO\right)$ gọi giao của đường trung trực của $SA$ với $SA$ là $E$ và $SO$ là $I$.
Khi đó $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp $S.ABCD$. Do đó bán kính là $R=SI={\displaystyle \frac{S{A}^2}{2SO}}\left(1\right)$
Do $AO={\displaystyle \frac{AC}{2}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$ và $\widehat{SAO}={60}^0$ nên $SO={\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}};SA=5\Rightarrow R={\displaystyle \frac{5^2}{2.{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}}}}={\displaystyle \frac{5}{\sqrt{3}}}$
Thể tích khối cầu $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi .{\left({\displaystyle \frac{5}{\sqrt{3}}}\right)}^3={\displaystyle \frac{500\sqrt{3}}{27}}\pi .$