Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=2a$, $AD=4a$, $SA\bot \left( ABCD \right)$, cạnh $SC$ tạo với mặt đáy góc $30{}^\circ $. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $N$ là điểm trên cạnh $AD$ sao cho $DN=a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $SB$ là
A. $\dfrac{a\sqrt{35}}{14}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{35}}{7}$.
C. $\dfrac{2a\sqrt{35}}{7}$.
D. $\dfrac{3a\sqrt{35}}{7}$.
Gọi $H$ thuộc cạnh $AD$ sao cho $AH=a$.
Theo bài ra ta có $BHNM$ là hình bình hành, suy ra $MN\text{//}BH$.
Ta có:
+) $AC=\sqrt{4{{a}^{2}}+16{{a}^{2}}}=2\sqrt{5}a\Rightarrow SA=AC.\tan {{30}^{o}}=2\sqrt{5}a.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{15}}{3}a$.
+) $d\left( MN,SB \right)=d\left( MN,\left( SBH \right) \right)=d\left( O,\left( SBH \right) \right)=2d\left( A,\ \left( SBH \right) \right)=2h$.
Do $A.SBH$ là tam diện vuông tại $A$ nên ta có $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}$ $\Rightarrow h=\dfrac{a.\dfrac{2\sqrt{15}}{3}a.2a}{\sqrt{{{a}^{2}}.\dfrac{20}{3}{{a}^{2}}+\dfrac{20}{3}{{a}^{2}}.4{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}.{{a}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{35}}{7}a$.
Vậy $d\left( MN,SB \right)=2d\left( A,\left( SBH \right) \right)=2h=\dfrac{2\sqrt{35}}{7}a$.
A. $\dfrac{a\sqrt{35}}{14}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{35}}{7}$.
C. $\dfrac{2a\sqrt{35}}{7}$.
D. $\dfrac{3a\sqrt{35}}{7}$.
Gọi $H$ thuộc cạnh $AD$ sao cho $AH=a$.
Theo bài ra ta có $BHNM$ là hình bình hành, suy ra $MN\text{//}BH$.
Ta có:
+) $AC=\sqrt{4{{a}^{2}}+16{{a}^{2}}}=2\sqrt{5}a\Rightarrow SA=AC.\tan {{30}^{o}}=2\sqrt{5}a.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{15}}{3}a$.
+) $d\left( MN,SB \right)=d\left( MN,\left( SBH \right) \right)=d\left( O,\left( SBH \right) \right)=2d\left( A,\ \left( SBH \right) \right)=2h$.
Do $A.SBH$ là tam diện vuông tại $A$ nên ta có $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}$ $\Rightarrow h=\dfrac{a.\dfrac{2\sqrt{15}}{3}a.2a}{\sqrt{{{a}^{2}}.\dfrac{20}{3}{{a}^{2}}+\dfrac{20}{3}{{a}^{2}}.4{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}.{{a}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{35}}{7}a$.
Vậy $d\left( MN,SB \right)=2d\left( A,\left( SBH \right) \right)=2h=\dfrac{2\sqrt{35}}{7}a$.
Đáp án C.