Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=1,$ $AD=\sqrt{10},$ $SA=SB,$ $SC=SD.$ Biết mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD \right)$ vuông góc nhau đồng thời tổng diện tích của hai tam giác $SAB$ và $SCD$ bằng $3$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. $\dfrac{13}{3}$.
B. $\dfrac{13}{6}$.
C. $\dfrac{26}{3}$.
D. $\dfrac{13}{2}$.
+ Giao tuyến $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD \right)$ là đường thẳng $d$ // $AB$ // $CD$
+ $SA=SB\Rightarrow \Delta SAB$ cân tại S, kẻ $SM\bot AB\Rightarrow M$ là trung điểm $AB$ và $SM\bot d$
+ $SC=SD\Rightarrow \Delta SCD$ cân tại S, kẻ $SN\bot CD\Rightarrow N$ là trung điểm $CD$ và $SN\bot d$
$\Rightarrow $ Giao tuyến $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD \right)$ là $\widehat{MSN}={{90}^{0}}$
Lại có: ${{S}_{\Delta SAB}}+{{S}_{\Delta SCD}}=3$ $\Rightarrow \dfrac{1}{2}SM.AB+\dfrac{1}{2}SN.CD=3$ $\Rightarrow SM+SN=6$
$MN=AD=\sqrt{10}\Rightarrow M{{N}^{2}}=S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}=10$ $\Rightarrow {{\left( SM+SN \right)}^{2}}-2SM.SN=10$
$\Rightarrow SM.SN=13$
Ta có: ${{V}_{S.ABCD}}=2{{V}_{S.ACD}}=2{{V}_{A.SCD}}=\dfrac{2}{3}d\left[ A,\left( SCD \right) \right].{{S}_{\Delta SCD}}$ $=\dfrac{2}{3}d\left[ M,\left( SCD \right) \right].{{S}_{\Delta SCD}}$
$=\dfrac{2}{3}.SM.\dfrac{1}{2}SN.CD=\dfrac{1}{3}SM.SN.CD=\dfrac{13}{3}$.
A. $\dfrac{13}{3}$.
B. $\dfrac{13}{6}$.
C. $\dfrac{26}{3}$.
D. $\dfrac{13}{2}$.
+ $SA=SB\Rightarrow \Delta SAB$ cân tại S, kẻ $SM\bot AB\Rightarrow M$ là trung điểm $AB$ và $SM\bot d$
+ $SC=SD\Rightarrow \Delta SCD$ cân tại S, kẻ $SN\bot CD\Rightarrow N$ là trung điểm $CD$ và $SN\bot d$
$\Rightarrow $ Giao tuyến $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD \right)$ là $\widehat{MSN}={{90}^{0}}$
Lại có: ${{S}_{\Delta SAB}}+{{S}_{\Delta SCD}}=3$ $\Rightarrow \dfrac{1}{2}SM.AB+\dfrac{1}{2}SN.CD=3$ $\Rightarrow SM+SN=6$
$MN=AD=\sqrt{10}\Rightarrow M{{N}^{2}}=S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}=10$ $\Rightarrow {{\left( SM+SN \right)}^{2}}-2SM.SN=10$
$\Rightarrow SM.SN=13$
Ta có: ${{V}_{S.ABCD}}=2{{V}_{S.ACD}}=2{{V}_{A.SCD}}=\dfrac{2}{3}d\left[ A,\left( SCD \right) \right].{{S}_{\Delta SCD}}$ $=\dfrac{2}{3}d\left[ M,\left( SCD \right) \right].{{S}_{\Delta SCD}}$
$=\dfrac{2}{3}.SM.\dfrac{1}{2}SN.CD=\dfrac{1}{3}SM.SN.CD=\dfrac{13}{3}$.
Đáp án A.