Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành và có thể tích $V$. Gọi $E$ là điểm trên cạnh $SC$ sao cho $EC=2ES$, $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $AE$ và song song với đường thẳng $BD$, $\left( \alpha \right)$ cắt hai cạnh $SB, SD$ lần lượt tại hai điểm $M, N$. Tính theo $V$ thể tích khối chóp $S.AMEN$.
A. $\dfrac{V}{27}$.
B. $\dfrac{V}{12}$.
C. $\dfrac{V}{6}$.
D. $\dfrac{V}{9}$.
A. $\dfrac{V}{27}$.
B. $\dfrac{V}{12}$.
C. $\dfrac{V}{6}$.
D. $\dfrac{V}{9}$.
Phương pháp:
- Áp dụng định lí Menelaus.
- Dùng tỉ lệ giữa thể tích hai khối chóp.
Cách giải:
Gọi Ilà tâm của hình vuông ABCD. Gọi $SI\cap AE=\left\{ H \right\}$
Trong (SBD), từ H kẻ đường thẳng song song với BD cắt
SB, SDlần lượt tại M,N.
$\Rightarrow \left( \alpha \right)\equiv \left( AMEN \right).~$
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SIC ta có:
$\dfrac{AC}{AI}.\dfrac{HI}{H{{S}^{'}}}\dfrac{SE}{EC}=1$
Vì I là trung điểm của AC⇒ $\dfrac{AC}{AI}=2$.
Theo giả thiết ta có $\dfrac{SE}{EC}=\dfrac{1}{2}$ $$
Dó đó 2. $\frac{HI}{HS}.\frac{1}{2}=1\Leftrightarrow \frac{HI}{HS}=1\Rightarrow H$ là trung điểm của SI.
Xét ∆ SBI có: Hlà trung điểm của SI, SM $\parallel $ BI $\Rightarrow $ M là trung điểm của SB (Tính chất đường trung bình của tam giác).
CMTT ta có N là trung điểm của SD.
Ta có: ${{V}_{S.AMEN}}={{V}_{S.MAE}}+{{V}_{S.AEN}}$
$\begin{align}
& =\frac{SM}{SB}.\frac{SE}{SC}{{V}_{S.ABC}}+\frac{SN}{SD}.\frac{SE}{SC}{{V}_{S.ACD}} \\
& =\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}+\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}} \\
\end{align}$
$=\frac{V}{6}$
- Áp dụng định lí Menelaus.
- Dùng tỉ lệ giữa thể tích hai khối chóp.
Cách giải:
Gọi Ilà tâm của hình vuông ABCD. Gọi $SI\cap AE=\left\{ H \right\}$
Trong (SBD), từ H kẻ đường thẳng song song với BD cắt
SB, SDlần lượt tại M,N.
$\Rightarrow \left( \alpha \right)\equiv \left( AMEN \right).~$
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SIC ta có:
$\dfrac{AC}{AI}.\dfrac{HI}{H{{S}^{'}}}\dfrac{SE}{EC}=1$
Vì I là trung điểm của AC⇒ $\dfrac{AC}{AI}=2$.
Theo giả thiết ta có $\dfrac{SE}{EC}=\dfrac{1}{2}$ $$
Dó đó 2. $\frac{HI}{HS}.\frac{1}{2}=1\Leftrightarrow \frac{HI}{HS}=1\Rightarrow H$ là trung điểm của SI.
Xét ∆ SBI có: Hlà trung điểm của SI, SM $\parallel $ BI $\Rightarrow $ M là trung điểm của SB (Tính chất đường trung bình của tam giác).
CMTT ta có N là trung điểm của SD.
Ta có: ${{V}_{S.AMEN}}={{V}_{S.MAE}}+{{V}_{S.AEN}}$
$\begin{align}
& =\frac{SM}{SB}.\frac{SE}{SC}{{V}_{S.ABC}}+\frac{SN}{SD}.\frac{SE}{SC}{{V}_{S.ACD}} \\
& =\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}+\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}} \\
\end{align}$
$=\frac{V}{6}$
Đáp án C.