Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành và có thể tích $V.$ Gọi $E$ là điểm trên cạnh $SC$ sao cho $EC=2ES.$ Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $AE$ và song song với đường thẳng $BD,\left( \alpha \right)$ cắt hai cạnh $SB,SD$ lần lượt tại $M,N.$ Tính theo $V$ thể tích khối chóp $S.AMEN.$
A. $\dfrac{V}{12}.$
B. $\dfrac{V}{27}.$
C. $\dfrac{V}{9}.$
D. $\dfrac{V}{6}.$
Gọi $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD.$
Trong $\left( SAC \right).$ Gọi $I=SO\cap AE.$
Từ $I,$ kẻ đường thẳng song song với đường thẳng $BD$ cắt hai cạnh $SB,SD$ lần lượt tại $M,N.$
Gọi $K$ là trung điểm $EC\Rightarrow SE=EK=KC.$
Do $OK$ là đường trung bình của tam giác $CAE\Rightarrow OK//IE\Rightarrow \dfrac{SI}{SO}=\dfrac{SE}{SK}=\dfrac{1}{2}.$
Do $MN//BD\Rightarrow \dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SD}=\dfrac{SI}{SO}=\dfrac{1}{2}$
Ta có: ${{V}_{S.AMBN}}={{V}_{S.AMB}}+{{V}_{S.ABN}}.$
$\dfrac{{{V}_{S.AME}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SE}{SC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow {{V}_{S.AME}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{S.ABC}}.$
$\dfrac{{{V}_{S.ANE}}}{{{V}_{S.ADC}}}=\dfrac{SN}{SD}.\dfrac{SE}{SC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow {{V}_{S.ANE}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{S.ACD}}.$
${{V}_{S.AMBN}}={{V}_{S.AMB}}+{{V}_{S.ABN}}=\dfrac{1}{6}\left( {{V}_{S.ABC}}+{{V}_{S.ACD}} \right)=\dfrac{1}{6}{{V}_{S.ABCD}}.$
$\Rightarrow {{V}_{S.AMBN}}=\dfrac{1}{6}V.$
A. $\dfrac{V}{12}.$
B. $\dfrac{V}{27}.$
C. $\dfrac{V}{9}.$
D. $\dfrac{V}{6}.$
Gọi $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD.$
Trong $\left( SAC \right).$ Gọi $I=SO\cap AE.$
Từ $I,$ kẻ đường thẳng song song với đường thẳng $BD$ cắt hai cạnh $SB,SD$ lần lượt tại $M,N.$
Gọi $K$ là trung điểm $EC\Rightarrow SE=EK=KC.$
Do $OK$ là đường trung bình của tam giác $CAE\Rightarrow OK//IE\Rightarrow \dfrac{SI}{SO}=\dfrac{SE}{SK}=\dfrac{1}{2}.$
Do $MN//BD\Rightarrow \dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SD}=\dfrac{SI}{SO}=\dfrac{1}{2}$
Ta có: ${{V}_{S.AMBN}}={{V}_{S.AMB}}+{{V}_{S.ABN}}.$
$\dfrac{{{V}_{S.AME}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SE}{SC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow {{V}_{S.AME}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{S.ABC}}.$
$\dfrac{{{V}_{S.ANE}}}{{{V}_{S.ADC}}}=\dfrac{SN}{SD}.\dfrac{SE}{SC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow {{V}_{S.ANE}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{S.ACD}}.$
${{V}_{S.AMBN}}={{V}_{S.AMB}}+{{V}_{S.ABN}}=\dfrac{1}{6}\left( {{V}_{S.ABC}}+{{V}_{S.ACD}} \right)=\dfrac{1}{6}{{V}_{S.ABCD}}.$
$\Rightarrow {{V}_{S.AMBN}}=\dfrac{1}{6}V.$
Đáp án D.