The Collectors

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành và có thể tích là $V$. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $SC$ sao cho...

Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành và có thể tích là $V$. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $SC$ sao cho $\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{1}{3}.$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $AM$ và cắt hai cạnh $SB,SD$ lần lượt tại $P$ và $Q.$ Gọi $V'$ là thể tích của $S.APMQ;\dfrac{SP}{SB}=x;\dfrac{SQ}{SD}=y;\left( 0<x;y<1 \right),$ Khi tỉ số $\dfrac{V'}{V}$ đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị của tổng $x+3y.$
A. 2.
B. $\dfrac{1}{6}.$
C. 1.
D. $\dfrac{1}{2}.$
1622477328848.png

Do $ABCD$ là hình bình hành, $A,M,Q,P$ đồng phẳng
Nên ta có: $\dfrac{SB}{SP}+\dfrac{SD}{SQ}=\dfrac{SC}{SM}+\dfrac{SA}{SA}\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=3+1=4$
Ta có: $\dfrac{V'}{V}=\dfrac{\dfrac{SB}{SP}+\dfrac{SD}{SQ}+\dfrac{SC}{SM}+\dfrac{SA}{SA}}{4.\dfrac{SB}{SP}.\dfrac{SD}{SQ}.\dfrac{SC}{SM}.\dfrac{SA}{SA}}=\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+3+1}{4.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}.3.1}=\dfrac{2}{3}xy.$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge \dfrac{2}{\sqrt{xy}}\Rightarrow xy\ge \dfrac{1}{4}\Rightarrow \dfrac{V'}{V}\ge \dfrac{1}{6}.$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}=2\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x+3y=2.$
Chứng minh công thức sử dụng phía trên:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành; và hình chóp tứ giác $S.A'B'C'D'$ có $A',B',C',D'$ lần lượt nằm trên các cạnh $SA,SB,SC,SD.$
Đặt $x=\dfrac{SA}{SA},y=\dfrac{SB}{SB'},z=\dfrac{SC}{SC'},t=\dfrac{SD}{SD'}.$
Khi đó ta có: $x+z=y+t\left( 1 \right)$ và $\dfrac{{{V}_{S.A'B'C'D}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{x+y+z+t}{4xyzt}\left( 2 \right).$
Chứng minh
(1) Chứng minh $x+z=y+t.$
1622477345056.png

Kẻ $AK//A'C',K\in SO$ và $CJ//A'C',J\in SO.$
Ta có $\dfrac{SA}{SA'}=\dfrac{SK}{SI}.$
Và $\dfrac{SC}{SC'}=\dfrac{SJ}{SI}\Rightarrow \dfrac{SA}{SA'}+\dfrac{SC}{SC'}=\dfrac{SK}{SI}+\dfrac{SJ}{SI}=\dfrac{SK+SJ}{SI}=\dfrac{\left( SO-OK \right)+\left( SO+OJ \right)}{SI}=\dfrac{2SO}{SI}\left( 1 \right)$
(do $AK//CJ\Rightarrow \dfrac{OK}{OJ}=\dfrac{OA}{OC}=1\Rightarrow OK=OJ$ )
Tương tự ta cũng tính được $\dfrac{SB}{S{{B}^{'}}}=\dfrac{SD}{S{{D}^{'}}}=\dfrac{2SO}{SI}$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ suy ra: $\dfrac{SA}{SA'}+\dfrac{SC}{SC'}=\dfrac{SB}{SB'}+\dfrac{SD}{SD'}\Rightarrow x+z=y+t.$
(2) Chứng minh: $\dfrac{{{V}_{S.A'B'C'D'}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{x+y+z+t}{4xyzt}$
Ta có $\dfrac{{{V}_{S.A'B'C'D'}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{{{V}_{S.A'C'D'}}}{2{{V}_{S.ACD}}}+\dfrac{{{V}_{S.A'C'B'}}}{2{{V}_{S.ACB}}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{SA'}{SA}.\dfrac{SC'}{SC}.\dfrac{SD'}{SD}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{SA'}{SA}.\dfrac{SC'}{SC}.\dfrac{SB'}{SB}$
$=\dfrac{1}{2}.\dfrac{SA'}{SA}.\dfrac{SC'}{SC}.\left( \dfrac{SB'}{SB}+\dfrac{SD'}{SD} \right)=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{z}\left( \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{t} \right)=\dfrac{y+t}{2xyzt}=\dfrac{x+y+z+t}{4xyzt}$ (do $x+z=y+t$ )
Đáp án A.
 

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Back
Top