The Collectors

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V. Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho...

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V. Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho SMSC=13. Mặt phẳng (α) chứa AM và cắt hai cạnh SB,SD lần lượt tại PQ. Gọi V là thể tích của S.APMQ;SPSB=x;SQSD=y;(0<x;y<1), Khi tỉ số VV đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị của tổng x+3y.
A. 2.
B. 16.
C. 1.
D. 12.
1622477328848.png

Do ABCD là hình bình hành, A,M,Q,P đồng phẳng
Nên ta có: SBSP+SDSQ=SCSM+SASA1x+1y=3+1=4
Ta có: VV=SBSP+SDSQ+SCSM+SASA4.SBSP.SDSQ.SCSM.SASA=1x+1y+3+14.1x.1y.3.1=23xy.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: 1x+1y2xyxy14VV16.
Đẳng thức xảy ra 1x=1y=2x=y=12x+3y=2.
Chứng minh công thức sử dụng phía trên:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; và hình chóp tứ giác S.ABCDA,B,C,D lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC,SD.
Đặt x=SASA,y=SBSB,z=SCSC,t=SDSD.
Khi đó ta có: x+z=y+t(1)VS.ABCDVS.ABCD=x+y+z+t4xyzt(2).
Chứng minh
(1) Chứng minh x+z=y+t.
1622477345056.png

Kẻ AK//AC,KSOCJ//AC,JSO.
Ta có SASA=SKSI.
SCSC=SJSISASA+SCSC=SKSI+SJSI=SK+SJSI=(SOOK)+(SO+OJ)SI=2SOSI(1)
(do AK//CJOKOJ=OAOC=1OK=OJ )
Tương tự ta cũng tính được SBSB=SDSD=2SOSI (2)
Từ (1),(2) suy ra: SASA+SCSC=SBSB+SDSDx+z=y+t.
(2) Chứng minh: VS.ABCDVS.ABCD=x+y+z+t4xyzt
Ta có VS.ABCDVS.ABCD=VS.ACD2VS.ACD+VS.ACB2VS.ACB=12.SASA.SCSC.SDSD+12.SASA.SCSC.SBSB
=12.SASA.SCSC.(SBSB+SDSD)=12.1x.1z(1y+1t)=y+t2xyzt=x+y+z+t4xyzt (do x+z=y+t )
Đáp án A.
 

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Back
Top