Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, mặt bên $SAB$ là tam giác vuông tại $A$, $SA=a\sqrt{3}$, $SB=2a$. Điểm $M$ nằm trên đoạn $AD$ sao cho $AM=2MD$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $\left( SAB \right)$. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$.
A. $\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{5{{a}^{2}}\sqrt{3}}{6}$.
C. $\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{9}$.
D. $\dfrac{5{{a}^{2}}\sqrt{3}}{18}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( P \right) \text{//} \left( SAB \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( SAD \right)=SA \\
& \left( P \right)\cap \left( SAD \right)=Mx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow Mx \text{//} SA $. Gọi $ Mx\cap SD=\left\{ N \right\}$.
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( P \right) \text{//} \left( SAB \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB \\
& \left( P \right)\cap \left( ABCD \right)=My \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow My \text{//} AB $. Gọi $ My\cap BC=\left\{ Q \right\}$.
Do $\left\{ \begin{aligned}
& \left( P \right) \supset MQ,\left( SCD \right)\supset CD \\
& CD \text{//} MQ \\
& \left( P \right)\cap \left( SCD \right)=Nt \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow Nt \text{//} CD \text{//} MQ $. Gọi $ Nt\cap SC=\left\{ P \right\}$.
Do $\left\{ \begin{aligned}
& MN \text{//} SA \\
& MQ \text{//} AB \\
& SA\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow MN\bot MQ$.
Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ là hình thang vuông $MNPQ$, vuông tại $M, N$.
Có $MQ=AB=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{A}^{2}}}=a$, $\dfrac{MN}{SA}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow MN=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$, $\dfrac{PN}{CD}=\dfrac{SN}{SD}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow PN=\dfrac{2a}{3}$
Diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ là
${{S}_{MNPQ}}=\dfrac{1}{2}MN.\left( NP+MQ \right)$ = $\dfrac{1}{2}\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\left( a+\dfrac{2a}{3} \right)=\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{2}}}{18}$.
A. $\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{5{{a}^{2}}\sqrt{3}}{6}$.
C. $\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{9}$.
D. $\dfrac{5{{a}^{2}}\sqrt{3}}{18}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( P \right) \text{//} \left( SAB \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( SAD \right)=SA \\
& \left( P \right)\cap \left( SAD \right)=Mx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow Mx \text{//} SA $. Gọi $ Mx\cap SD=\left\{ N \right\}$.
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( P \right) \text{//} \left( SAB \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB \\
& \left( P \right)\cap \left( ABCD \right)=My \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow My \text{//} AB $. Gọi $ My\cap BC=\left\{ Q \right\}$.
Do $\left\{ \begin{aligned}
& \left( P \right) \supset MQ,\left( SCD \right)\supset CD \\
& CD \text{//} MQ \\
& \left( P \right)\cap \left( SCD \right)=Nt \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow Nt \text{//} CD \text{//} MQ $. Gọi $ Nt\cap SC=\left\{ P \right\}$.
Do $\left\{ \begin{aligned}
& MN \text{//} SA \\
& MQ \text{//} AB \\
& SA\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow MN\bot MQ$.
Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ là hình thang vuông $MNPQ$, vuông tại $M, N$.
Có $MQ=AB=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{A}^{2}}}=a$, $\dfrac{MN}{SA}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow MN=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$, $\dfrac{PN}{CD}=\dfrac{SN}{SD}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow PN=\dfrac{2a}{3}$
Diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ là
${{S}_{MNPQ}}=\dfrac{1}{2}MN.\left( NP+MQ \right)$ = $\dfrac{1}{2}\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\left( a+\dfrac{2a}{3} \right)=\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{2}}}{18}$.
Đáp án D.