Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Hai điểm $M,N$ lần lượt thuộc các đoạn thẳng $AB$ và $AD(M$ và $N$ không trùng với $A)$ sao cho $\dfrac{AB}{AM}+2\dfrac{AD}{AN}=4.$ Kí hiệu $V,{{V}_{1}}$ lần lượt là thể tích của các khối chóp $S.ABCD$ và $S.MBCDN.$ Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}.$
A. $\dfrac{2}{3}.$
B. $\dfrac{1}{6}.$
C. $\dfrac{3}{4}.$
D. $\dfrac{17}{14}.$
Ta có: $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{{{V}_{S.MBCDN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{{{V}_{S.ABCD}}-{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=1-\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=1-k$
Với $k=\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{{{S}_{\Delta AMN}}}{{{S}_{ABCD}}}=\dfrac{{{S}_{\Delta AMN}}}{2{{S}_{ABD}}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{AM.AN}{AB.AD}$
Mặt khác ta có: $4=\dfrac{AB}{AM}+2\dfrac{AD}{AN}\ge 2\sqrt{\dfrac{AB}{AM}.2\dfrac{AD}{AN}}\Leftrightarrow 2\ge \dfrac{AB}{AM}.\dfrac{AD}{AN}\Leftrightarrow \dfrac{AM}{AB}\dfrac{AN}{AD}\ge \dfrac{1}{2}.$
Suy ra: $k=\dfrac{1}{2}\dfrac{AM.AM}{AB.AD}\ge \dfrac{1}{4}.$
${{k}_{\min }}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \dfrac{AB}{AM}=\dfrac{2AD}{AN}=2\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AM=2AM \\
& AD=AN \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow N\equiv D,M $ là trung điểm của $ AB.$
Suy ra: $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}\le 1-{{k}_{\min }}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}.$
A. $\dfrac{2}{3}.$
B. $\dfrac{1}{6}.$
C. $\dfrac{3}{4}.$
D. $\dfrac{17}{14}.$
Ta có: $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{{{V}_{S.MBCDN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{{{V}_{S.ABCD}}-{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=1-\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=1-k$
Với $k=\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{{{S}_{\Delta AMN}}}{{{S}_{ABCD}}}=\dfrac{{{S}_{\Delta AMN}}}{2{{S}_{ABD}}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{AM.AN}{AB.AD}$
Mặt khác ta có: $4=\dfrac{AB}{AM}+2\dfrac{AD}{AN}\ge 2\sqrt{\dfrac{AB}{AM}.2\dfrac{AD}{AN}}\Leftrightarrow 2\ge \dfrac{AB}{AM}.\dfrac{AD}{AN}\Leftrightarrow \dfrac{AM}{AB}\dfrac{AN}{AD}\ge \dfrac{1}{2}.$
Suy ra: $k=\dfrac{1}{2}\dfrac{AM.AM}{AB.AD}\ge \dfrac{1}{4}.$
${{k}_{\min }}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \dfrac{AB}{AM}=\dfrac{2AD}{AN}=2\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AM=2AM \\
& AD=AN \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow N\equiv D,M $ là trung điểm của $ AB.$
Suy ra: $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}\le 1-{{k}_{\min }}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}.$
Đáp án C.