Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành. Hai điểm $M, N$ lần lượt thuộc các đoạn thẳng $A B$ và $A D (M$ và $N$ không trùng với $A)$ ...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình bình hành. Hai điểm

M, N

lần lượt thuộc các đoạn thẳng

A B

và

A D (M

và

N

không trùng với

A)

sao cho

\frac{A B}{A M} + 2 \frac{A D}{A N} = 4.

Kí hiệu

V, V_{1}

lần lượt là thể tích của các khối chóp

S . A B C D

và

S . M B C D N .

Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số

\frac{V_{1}}{V} .

A.

\frac{2}{3} .

B.

\frac{1}{6} .

C.

\frac{3}{4} .

D.

\frac{17}{14} .

Ta có:

\frac{V_{1}}{V} = \frac{V_{S . M B C D N}}{V_{S . A B C D}} = \frac{V_{S . A B C D} - V_{S . A M N}}{V_{S . A B C D}} = 1 - \frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C D}} = 1 - k

Với

k = \frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C D}} = \frac{S_{Δ A M N}}{S_{A B C D}} = \frac{S_{Δ A M N}}{2 S_{A B D}} = \frac{1}{2} \frac{A M . A N}{A B . A D}

Mặt khác ta có:

4 = \frac{A B}{A M} + 2 \frac{A D}{A N} \geq 2 \sqrt{\frac{A B}{A M} .2 \frac{A D}{A N}} \Leftrightarrow 2 \geq \frac{A B}{A M} . \frac{A D}{A N} \Leftrightarrow \frac{A M}{A B} \frac{A N}{A D} \geq \frac{1}{2} .

Suy ra:

k = \frac{1}{2} \frac{A M . A M}{A B . A D} \geq \frac{1}{4} .

k_{min} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{A B}{A M} = \frac{2 A D}{A N} = 2 \Leftrightarrow {\begin{aligned} A M = 2 A M \\ A D = A N \end{aligned} \Leftrightarrow N \equiv D, M

là trung điểm của

A B .

Suy ra:

\frac{V_{1}}{V} \leq 1 - k_{min} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} .

Đáp án C.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hai điểm M,N lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB và AD(M và N không trùng với A)...