Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Hai điểm $M, N$ lần lượt thuộc các đoạn $AB$ và $AD$ ( $M, N$ không trùng với $A$ ) sao cho $2\frac{AB}{AM}+3\frac{AD}{AN}=8$. Kí hiệu $V, {{V}_{1}}$ lần lượt là thể tích của các khối chóp $S.ABCD$ và $S.MBCDN$. Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số $\frac{{{V}_{1}}}{V}$.
A. $\frac{13}{16}$.
B. $\frac{11}{12}$.
C. $\frac{1}{6}$.
D. $\frac{2}{3}$.
Gọi $h$ là chiều cao của hình chóp $S.ABCD$. Khi đó, $h$ cũng là chiều cao của hình chóp $S.MBCDN$.
$V=\frac{1}{3}h.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}h.AB.AD.\sin A$
${{V}_{1}}=\frac{1}{3}h.{{S}_{MBCDN}}=\frac{1}{3}h.\left( {{S}_{ABCD}}-{{S}_{AMN}} \right)=\frac{1}{3}h.\left( AB.AD.\sin A-\frac{1}{2}AM.AN.\sin A \right)$
$\Rightarrow \frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{\frac{1}{3}h.\left( AB.AD.\sin A-\frac{1}{2}AM.AN.\sin A \right)}{\frac{1}{3}h.AB.AD.\sin A}=\frac{AB.AD-\frac{1}{2}AM.AN}{AB.AD}=1-\frac{1}{2}\frac{AM}{AB}.\frac{AN}{AD}$
Đặt $x=\frac{AB}{AM} , y=\frac{AD}{AN}$. Vì $M, N$ thuộc đoạn $AB , AD$ và không trùng $A$ nên $x, y\ge 1$
Khi đó, $2\frac{AB}{AM}+3\frac{AD}{AN}=8\Leftrightarrow 2x+3y=8\Leftrightarrow y=\frac{8-2x}{3}$, mà $y\ge 1\Leftrightarrow \frac{8-2x}{3}\ge 1\Leftrightarrow x\le \frac{5}{2}$
Và $\frac{{{V}_{1}}}{V}=1-\frac{1}{2}.\frac{AM}{AB}.\frac{AN}{AD}\Leftrightarrow \frac{{{V}_{1}}}{V}=1-\frac{1}{2}.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}$.
Để $\frac{{{V}_{1}}}{V}=1-\frac{1}{2}.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}$ lớn nhất thì $\frac{1}{x}.\frac{1}{y}$ nhỏ nhất.
Đặt $f\left( x \right)=\frac{1}{x}.\frac{1}{\frac{8-2x}{3}}=\frac{3}{8x-2{{x}^{2}}}, \forall x\in \left[ 1 ; \frac{5}{2} \right]\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{24-12x}{{{\left( 8x-2{{x}^{2}} \right)}^{2}}}=\frac{6-3x}{{{\left( 4x-{{x}^{2}} \right)}^{2}}}$
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=2$
Ta có $f\left( 1 \right)=\frac{1}{2} ; f\left( 2 \right)=\frac{3}{8} ; f\left( \frac{5}{2} \right)=\frac{2}{5}$. Suy ra, $\underset{\left[ 1 ; \frac{5}{2} \right]}{\mathop{Min f\left( x \right)}} =f\left( 2 \right)=\frac{3}{8}$
Vậy $Max\frac{{{V}_{1}}}{V}=1-\frac{1}{2}.\frac{3}{8}=\frac{13}{16}$
A. $\frac{13}{16}$.
B. $\frac{11}{12}$.
C. $\frac{1}{6}$.
D. $\frac{2}{3}$.
Gọi $h$ là chiều cao của hình chóp $S.ABCD$. Khi đó, $h$ cũng là chiều cao của hình chóp $S.MBCDN$.
$V=\frac{1}{3}h.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}h.AB.AD.\sin A$
${{V}_{1}}=\frac{1}{3}h.{{S}_{MBCDN}}=\frac{1}{3}h.\left( {{S}_{ABCD}}-{{S}_{AMN}} \right)=\frac{1}{3}h.\left( AB.AD.\sin A-\frac{1}{2}AM.AN.\sin A \right)$
$\Rightarrow \frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{\frac{1}{3}h.\left( AB.AD.\sin A-\frac{1}{2}AM.AN.\sin A \right)}{\frac{1}{3}h.AB.AD.\sin A}=\frac{AB.AD-\frac{1}{2}AM.AN}{AB.AD}=1-\frac{1}{2}\frac{AM}{AB}.\frac{AN}{AD}$
Đặt $x=\frac{AB}{AM} , y=\frac{AD}{AN}$. Vì $M, N$ thuộc đoạn $AB , AD$ và không trùng $A$ nên $x, y\ge 1$
Khi đó, $2\frac{AB}{AM}+3\frac{AD}{AN}=8\Leftrightarrow 2x+3y=8\Leftrightarrow y=\frac{8-2x}{3}$, mà $y\ge 1\Leftrightarrow \frac{8-2x}{3}\ge 1\Leftrightarrow x\le \frac{5}{2}$
Và $\frac{{{V}_{1}}}{V}=1-\frac{1}{2}.\frac{AM}{AB}.\frac{AN}{AD}\Leftrightarrow \frac{{{V}_{1}}}{V}=1-\frac{1}{2}.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}$.
Để $\frac{{{V}_{1}}}{V}=1-\frac{1}{2}.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}$ lớn nhất thì $\frac{1}{x}.\frac{1}{y}$ nhỏ nhất.
Đặt $f\left( x \right)=\frac{1}{x}.\frac{1}{\frac{8-2x}{3}}=\frac{3}{8x-2{{x}^{2}}}, \forall x\in \left[ 1 ; \frac{5}{2} \right]\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{24-12x}{{{\left( 8x-2{{x}^{2}} \right)}^{2}}}=\frac{6-3x}{{{\left( 4x-{{x}^{2}} \right)}^{2}}}$
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=2$
Ta có $f\left( 1 \right)=\frac{1}{2} ; f\left( 2 \right)=\frac{3}{8} ; f\left( \frac{5}{2} \right)=\frac{2}{5}$. Suy ra, $\underset{\left[ 1 ; \frac{5}{2} \right]}{\mathop{Min f\left( x \right)}} =f\left( 2 \right)=\frac{3}{8}$
Vậy $Max\frac{{{V}_{1}}}{V}=1-\frac{1}{2}.\frac{3}{8}=\frac{13}{16}$
Đáp án A.