Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt thuộc các đoạn thẳng $AB,AD(M,N$ không trùng $A)$ sao cho $\dfrac{AB}{AM}=x$ và $\dfrac{AD}{AN}=y$ thỏa mãn $x+2y=4$ và $\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Gá trị của ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\dfrac{{{V}_{S.ABD}}}{{{V}_{S.AMN}}}$ bằng
A. 9
B. 7
C. 5
D. 6
A. 9
B. 7
C. 5
D. 6
Cách giải:
Ta có: ${{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{3}d\left( S;\left( ABCD \right) \right).{{S}_{AMN}}$
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}d\left( S;\left( ABCD \right) \right).{{S}_{ABCD}}$
${{S}_{AMN}}=\dfrac{1}{2}.AM.AN.\sin A$
Mà ${{S}_{ABCD}}=2{{S}_{ABD}}=2.\dfrac{1}{2}.AB.AD.\sin A$
$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{AMN}}}{{{S}_{ABCD}}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{AM}{AB}.\dfrac{AN}{AD}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x\left( 4-x \right)}$
Vì $x\left( 4-x \right)\le {{\left( \dfrac{x+4-x}{2} \right)}^{2}}=4\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}\ge \dfrac{1}{4}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=4-x\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=1.$
Vậy ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\dfrac{{{V}_{S.ABD}}}{{{V}_{S.AMN}}}={{2}^{2}}+{{1}^{2}}+2=7.$
Ta có: ${{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{3}d\left( S;\left( ABCD \right) \right).{{S}_{AMN}}$
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}d\left( S;\left( ABCD \right) \right).{{S}_{ABCD}}$
${{S}_{AMN}}=\dfrac{1}{2}.AM.AN.\sin A$
Mà ${{S}_{ABCD}}=2{{S}_{ABD}}=2.\dfrac{1}{2}.AB.AD.\sin A$
$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{AMN}}}{{{S}_{ABCD}}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{AM}{AB}.\dfrac{AN}{AD}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x\left( 4-x \right)}$
Vì $x\left( 4-x \right)\le {{\left( \dfrac{x+4-x}{2} \right)}^{2}}=4\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}\ge \dfrac{1}{4}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=4-x\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=1.$
Vậy ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\dfrac{{{V}_{S.ABD}}}{{{V}_{S.AMN}}}={{2}^{2}}+{{1}^{2}}+2=7.$
Đáp án B.