Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N$ lần lượt thuộc các đoạn thẳng $AB,AD(M,N$ không trùng $A)$ sao cho $\dfrac{AB}{AM}+2\dfrac{AD}{AN}=4.$ Ký hiệu $V,{{V}_{1}}$ lần lượt là thể tích của các khối chóp $S.ABCD$ và $S.MBCDN$. Giá trị lớn nhất của tỷ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}$ bằng
A. $\dfrac{1}{6}.$
B. $\dfrac{2}{3}.$
C. $\dfrac{4}{7}.$
D. $\dfrac{3}{4}.$
Đặt $x=\dfrac{AB}{AM},y=\dfrac{AD}{AN}\left( x,y>0 \right)$. Theo giả thiết, ta có $x+2y=4.$
Mặt khác: ${{V}_{1}}={{V}_{S.MBCDN}}={{V}_{S.ABCD}}-{{V}_{S.AMN}}$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{{{V}_{S.ABCD}}-{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=1-\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=1-\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{2.{{V}_{S.ABD}}}=1-\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{V}_{A.SMN}}}{{{V}_{A.SBD}}}=1-\dfrac{1}{2}.\dfrac{AM}{AB}.\dfrac{AN}{AD}$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{V}=1-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}=1-\dfrac{1}{2xy}$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchycho hai số dương $x$ và $2y$, ta được: $x+2y\ge 2\sqrt{x.2y}$
$\Rightarrow 4\ge 2\sqrt{2xy}\Rightarrow 2xy\le 4\Rightarrow 1-\dfrac{1}{2xy}\le 1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{V}\le \dfrac{3}{4}.$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2y \\
& x+2y=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=1 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy GTLN của tỷ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}$ bằng $\dfrac{3}{4}.$
A. $\dfrac{1}{6}.$
B. $\dfrac{2}{3}.$
C. $\dfrac{4}{7}.$
D. $\dfrac{3}{4}.$
Đặt $x=\dfrac{AB}{AM},y=\dfrac{AD}{AN}\left( x,y>0 \right)$. Theo giả thiết, ta có $x+2y=4.$
Mặt khác: ${{V}_{1}}={{V}_{S.MBCDN}}={{V}_{S.ABCD}}-{{V}_{S.AMN}}$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{{{V}_{S.ABCD}}-{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=1-\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=1-\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{2.{{V}_{S.ABD}}}=1-\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{V}_{A.SMN}}}{{{V}_{A.SBD}}}=1-\dfrac{1}{2}.\dfrac{AM}{AB}.\dfrac{AN}{AD}$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{V}=1-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}=1-\dfrac{1}{2xy}$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchycho hai số dương $x$ và $2y$, ta được: $x+2y\ge 2\sqrt{x.2y}$
$\Rightarrow 4\ge 2\sqrt{2xy}\Rightarrow 2xy\le 4\Rightarrow 1-\dfrac{1}{2xy}\le 1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{V}\le \dfrac{3}{4}.$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2y \\
& x+2y=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=1 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy GTLN của tỷ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}$ bằng $\dfrac{3}{4}.$
Đáp án D.